数据结构
网络
RDBMS
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法学研究信号与系统 – 拉普拉斯变换的线性性质
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt}\:\:\:..(1)$$
公式(1)给出了函数$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt}\:\:\:..(2)$$
拉普拉斯变换的线性性质
叙述 − 拉普拉斯变换的线性性质指出，两个信号的加权和的拉普拉斯变换等于各个信号拉普拉斯变换的加权和。因此，如果
$$\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{s})}\:\:and \:\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{t})}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{s})}$$
那么，根据拉普拉斯变换的线性性质，
$$\mathit{ax}_{\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}+\mathit{bx}_{\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{t})}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{aX}_{\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{s})}+\mathit{bX}_{\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{s})}$$
证明
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathit{L}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e}}^{\mathit{-st}}\:\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{L}[\mathit{ax}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{}t)}+\mathit{bx}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\int_{0}^{\infty}[\mathit{ax}_\mathrm{1}\mathrm{(t)}+\mathit{bx}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}]\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{L}[\mathit{ax}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{}t)}+\mathit{bx}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{a}\int_{0}^{\infty}\mathit{x}_\mathrm{1}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}+\mathit{b}\int_{0}^{\infty}\mathit{x}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{L}[\mathit{ax}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{t})}+\mathit{bx}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{aX}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{s})}+\mathit{bX}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{s})}$$
或者也可以表示为：
$$\mathit{ax}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{t})}+\mathit{bx}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}\:\overset{Lt}\longleftrightarrow\mathit{aX}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{s})}+\mathit{bX}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{s})}$$
数值例子
利用线性性质，确定由下式给出的函数的拉普拉斯变换：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathrm{2}\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}\:-\:\mathrm{15}\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}$$
解答
给定的信号是：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathrm{2}\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}\:-\:\mathrm{15}\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}$$
令：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{t})}+\mathit{x}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}$$ $$\therefore\mathit{x}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathrm{2}\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}\:\:and\:\:\mathit{x}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:-\:\mathrm{15}\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}$$
现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们得到：
$$\mathit{L}[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L}[\mathrm{2}\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathrm{2}\mathit{L}[\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}]$$ $$\Rightarrow\mathit{L}[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{5})}};\:ROC\rightarrow\:Re\mathrm{(\mathit{s})}>-5$$
同样地，
$$\mathit{L}[\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L}[-\:\mathrm{15}\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}]\:\mathrm{=}\:-\mathrm{15}\mathit{L}[\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}]\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{(-15)}}{\mathrm{-(\mathit{s}-\mathrm{4})}}$$ $$\Rightarrow\mathit{L}[\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{(\mathit{s}-\mathrm{4})}}\:;ROC\:\rightarrow\:Re\mathrm{(\mathit{s})}<\mathrm{4}$$
利用线性性质，我们得到：
$$\mathit{L}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L}[\mathit{x}_\mathrm{1}\mathrm{(\mathit{t})}]+\mathit{L}[\mathit{x}_\mathrm{2}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{5})}}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{(\mathit{s}-\mathrm{4})}}$$ $$\Rightarrow\mathit{L}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L}[\mathrm{2}\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}-\:\mathrm{15}\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}]\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{17}\mathit{s}-\mathrm{83}}{\mathit{s}^{\mathrm{2}}+\mathit{s}-\mathrm{20}}$$ $$\therefore[\mathrm{2}\mathit{e^{-\mathrm{5}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}-\:\mathrm{15}\mathit{e^{\mathrm{4}\mathit{t}}}\mathit{u}\mathrm{(\mathit{-t})}]\overset{LT}\longleftrightarrow\lgroup\frac{\mathrm{17}\mathit{s}-\mathrm{83}}{\mathit{s}^{\mathrm{2}}+\mathit{s}-\mathrm{20}}\rgroup;\:ROC\:\rightarrow\:\mathrm{-5}< Re\mathrm{(\mathit{s})}<\mathrm{4}$$
浏览量3K+
