信号与系统 – 傅里叶变换的共轭和自相关特性

傅里叶变换

对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

傅里叶变换的共轭特性

陈述 - 傅里叶变换的共轭特性指出，时域中函数 x(t) 的共轭导致其频域中傅里叶变换的共轭，并且 ω 被替换为 (−ω)，即如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据傅里叶变换的共轭特性，

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

在两边取共轭，我们得到

$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$

$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$

现在，通过将 (ω) 替换为 (−ω)，我们得到：

$$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t)]}$$

$$\mathrm{\therefore F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$

或者，它也可以表示为：

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$

傅里叶变换的自相关特性

连续时间函数 𝑥(𝑡) 的自相关定义为：

$$\mathrm{R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt}$$

陈述 - 傅里叶变换的自相关特性指出，时域中单个信号的自相关的傅里叶变换等于其频谱模值的平方。因此，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据傅里叶变换的自相关特性，

$$\mathrm{R(\tau)\overset{FT}{\leftrightarrow}|X(\omega)|^2}$$

证明

根据自相关的定义，我们有：

$$\mathrm{R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt}$$

然后，根据傅里叶变换的定义，我们得到：

$$\mathrm{X(\omega)=F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt]e^{-j\omega t}dt}$$

通过交换积分顺序，我们得到：

$$\mathrm{F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)[\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t-\tau)e^{-j\omega t}d\tau]dt}$$

在第二个积分中代入 [(𝑡 − 𝜏) = 𝑢]，

$$\mathrm{\tau=(t-u)\:and\:d\tau=du}$$

$$\mathrm{\therefore F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)[\int_{-\infty}^{\infty}x^*(u)e^{-j\omega(t-u)}du]dt}$$

$$\mathrm{ \Rightarrow F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\int_{-\infty}^{\infty}x^*(u)e^{j\omega u}du}$$

$$\mathrm{ \Rightarrow F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt[\int_{-\infty}^{\infty}x(u)e^{-j\omega u}du]^*}$$

因此

$$\mathrm{F[R(\tau)]=X(\omega)X^*(\omega)=|X(\omega)|^2}$$

或者，它也可以表示为：

$$\mathrm{R(\tau)\overset{FT}{\leftrightarrow}|X(\omega)|^2}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2021年12月3日

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