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法律研究连续时间傅里叶级数的线性性和共轭性质
傅里叶级数
如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：
$$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:… (1)}$$
其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:… (2)}$$
连续时间傅里叶级数的线性性质
考虑两个周期信号 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$，它们都是周期为 T 的周期信号，其傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
则连续时间傅里叶级数的线性性质指出：
$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$
证明
根据周期函数傅里叶级数的定义，我们得到：
$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right )+B\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt \right )\:\:… (3)}$$
比较公式 (2) 和 (3)，我们有：
$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=AC_{n}+BD_{n}}$$
$$\mathrm{\therefore\:Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}\:\:(证毕)}$$
连续时间傅里叶级数的共轭性质
设周期函数 $x(t)$ 的周期为 $T$，其傅里叶级数系数为 $C_{n}$。如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
则连续时间傅里叶级数的共轭性质指出：
$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[对于复数 x(t)]}$$
证明
根据傅里叶级数的定义，我们得到：
$$\mathrm{FS[x^{*}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x^{*}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x^{*}(t)]=\left (\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{jn\omega_{0}t}\:dt\right )^{*}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x^{*}(t)]=\left (\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-j(-n)\omega_{0}t}\:dt\right )^{*}=(C_{-n})^{*}}$$
因此，
$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[对于复数 x(t)]}$$
连续时间傅里叶级数的共轭对称性质
由于函数 $x(t)$ 的傅里叶级数的共轭性质指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
则
$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[对于复数 x(t)]}$$
傅里叶级数的共轭对称性质指出：
$$\mathrm{C_{-n}=C_{n}^{*}\:\:\:[对于实数 x(t)]}$$
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