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法学连续时间傅里叶级数的卷积性质
傅里叶级数
如果𝑥(𝑡)是一个周期为T的周期函数，则该函数的连续时间傅里叶级数定义为：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:\:.....(1)}$$
其中，𝐶𝑛是指数傅里叶级数系数，由下式给出：
$$\mathrm{C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\:\:\:\:\:.....(2)}$$
傅里叶级数的卷积性质
根据卷积性质，两个函数𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)在时域中的卷积的傅里叶级数等于它们在频域中傅里叶级数系数的乘积。
如果𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)是两个周期为T的周期函数，其傅里叶级数系数分别为𝐶𝑛和𝐷𝑛。则如果：
$$\mathrm{x_1(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_n}$$
$$\mathrm{x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_n}$$
则连续时间傅里叶级数的卷积性质表明：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_nD_n}$$
证明
根据傅里叶级数的定义，我们得到：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-jn\omega_0 t}dt}$$
由于[0到T]或[𝑡0到(𝑡0 + 𝑇)]具有相同的周期，因此：
$$\mathrm{\Rightarrow FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-jn\omega_0 t}dt\:\:\:\:.....(3)}$$
但是，从周期信号的卷积积分定义中，我们得到：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{0}^{T}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau\:\:\:\:.....(4)}$$
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{0}^{T}x_1(t-\tau)x_2(\tau)d\tau\:\:\:\:.....(5)}$$
将公式(4)中[𝑥1(𝑡) ∗ 𝑥2(𝑡)]的值代入公式(3)，我们有：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:\:\:......(6)}$$
重新排列公式(6)中的积分顺序，我们得到：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_1(\tau)(\int_{0}^{T}x_2(t-\tau)e^{-jn\omega_{0} t}dt)d\tau\:\:\:\:......(7)}$$
在公式(7)的右边将(𝑡 − 𝜏) = 𝑡0，则𝑑𝑡 = 𝑑𝑡0，我们得到：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_1(\tau)(\int_{-\tau}^{T-\tau}x_2(t_0)e^{-jn\omega_{0} (t_0+\tau)}dt_{0})d\tau}$$
$$\mathrm{\Rightarrow FS[x_1(t)*x_2(t)]=T(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_1(\tau)e^{-jn\omega_{0}t}d\tau)(\frac{1}{T}\int_{-\tau}^{T-\tau}x_2(t_0)e^{-jn\omega_{0} t_0}dt_{0})\:\:\:\:.....(8)}$$
将公式(8)与公式(2)进行比较，我们得到：
$$\mathrm{ FS[x_1(t)*x_2(t)]=T[C_n][D_n]}$$
$$\mathrm{\therefore x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_n D_n\:\:\:(证毕)}$$
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