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法学连续时间傅里叶级数中的帕塞瓦尔定理
傅里叶级数
如果$x(t)$是一个周期为$T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$
其中，$C_{n}$是指数傅里叶级数系数，由下式给出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-jn\omega_{0} t}\:dt… (2)}$$
帕塞瓦尔定理和帕塞瓦尔恒等式
设$x_{1}(t)$和$x_{2}(t)$是两个具有周期T的复周期函数，其傅里叶级数系数分别为$C_{n}$和$D_{n}$。
如果：
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
那么，连续时间傅里叶级数的**帕塞瓦尔定理**指出：
$$\mathrm{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt =\sum_{n=−\infty}^{\infty} C_{n}\:D_{n}^{*}\:[对复数\: x_{1}(t)\: \& \: x_{2}(t)] … (3)}$$
而傅里叶级数的**帕塞瓦尔恒等式**指出，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{1}(t)=x(t)}$$
那么：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}… (4)}$$
证明——帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系式或帕塞瓦尔性质
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}… (5)}$$
根据傅里叶级数的定义，我们有：
$$\mathrm{等式(5)的左侧=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt}$$
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\left ( \sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t} \right )x_{2}^{*}(t)\:dt… (6)}$$
重新排列等式(6)右侧的积分和求和顺序，我们得到：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{2}^{*}(t)e^{jn\omega_{0} t}\:dt \right )}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{1}{T}\int_{0}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{2}(t)e^{-jn\omega_{0} t}\:dt \right )^{*}… (7)}$$
将等式(7)与等式(2)进行比较，我们可以写成：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}… (8)\:\:(证毕)}$$
证明——帕塞瓦尔恒等式
如果：
$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{2}(t)=x(t)}$$
然后，帕塞瓦尔关系式变为：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:x^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:C_{n}^{*}… (9)}$$
$$\mathrm{\because\:x(t)\:x^{*}(t)=|x(t)|^{2}\:and\:C_{n}\:C_{n}^{*}=|C_{n}|^{2}}$$
现在，将这些值代入等式(9)，我们得到：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}… (10) \:\:(证毕)}$$
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