信号与系统 – 帕塞瓦尔功率定理

平均功率

信号的平均功率定义为信号（如电压或电流）在一个单位电阻上在一个周期内耗散的平均功率。数学上，平均功率由下式给出：

$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$

帕塞瓦尔功率定理

定理陈述 − 帕塞瓦尔功率定理指出，信号的功率等于离散频谱中各个谐波分量的幅度平方和。

数学上，帕塞瓦尔功率定理定义为：

$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty |\mathit{C}_\mathit{n}|^2$$

证明

考虑一个函数 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$。那么，信号 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$在一个完整周期内的平均功率由下式给出：

$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$ $$\because|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathrm{=}\: \mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}$$ $$\therefore\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}\:\dotsm(1)$$

但是，根据指数傅里叶级数的定义，我们有：

$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{C}_\mathit{n}\mathit{e}^\mathit{jn\omega t}\:\dotsm(2)$$

因此，根据公式 (1) 和 (2)，我们得到：

$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}  \begin{bmatrix}\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{C}_\mathit{n}\mathit{e}^\mathit{jn\omega t} \end{bmatrix}$$
$\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathit{dt}$

现在，通过交换积分和求和的顺序，我们得到：

$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{C}_\mathit{n} \begin{bmatrix} \frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e}^\mathit{jn\omega t}\:\mathit{dt}\end{bmatrix}  \:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\mathit{C}_\mathit{n}\mathit{C}_\mathit{n}^{*}$$ $$\therefore\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty|\mathit{C}_\mathit{n}|^{2}\:\dotsm(3)$$

公式 (3) 中的表达式称为 *帕塞瓦尔功率定理*。因此，很明显，帕塞瓦尔功率定理根据其傅里叶级数系数（换句话说，根据信号中存在的谐波）定义信号的功率。

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月7日

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