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信号与系统 – 瑞利能量定理

信号的能量

信号 x(t) 的能量定义为该信号幅度平方的曲线下面积，即：

E=∫∞−∞|x(t)|2dt

只有当信号的能量 (E) 有限，即 0 < E < ∞ 时，才存在能量信号。

瑞利能量定理

定理 - 瑞利能量定理指出，一个函数的幅度平方积分（即函数的能量）等于其傅里叶变换的幅度平方积分，即：

E=∫∞−∞|x(t)|2dt=12π∫∞−∞|X(ω)|2dω

证明

考虑一个函数 x(t)，其傅里叶变换对为：

x(t)FT↔X(ω)

假设 x∗(t) 是函数 x(t) 的共轭，其傅里叶变换对为：

x∗(t)FT↔X∗(−ω)

那么，信号 x(t) 的能量由下式给出：

E=∫∞−∞|x(t)|2dt

∵|x(t)|2=x(t)x∗(t)

∴E=∫∞−∞x(t)x∗(t)dt=∫∞−∞x∗(t)x(t)dt

现在，用其傅里叶逆变换替换函数 x(t)，得到：

E=∫∞−∞x∗(t)[12π∫∞−∞X(ω)ejωtdω]dt

通过交换上式中的积分顺序，得到：

E=12π∫∞−∞X(ω)[∫∞−∞x∗(t)ejωtdt]dω

⇒E=12π∫∞−∞X(ω)X∗(−ω)dω

∵X(ω)X∗(−ω)=|X(ω)|2

因此，我们有：

E=12π∫∞−∞|X(ω)|2dω=∫∞∞|x(t)|2dt

这就是瑞利能量定理。瑞利能量定理也称为能量信号的帕塞瓦尔定理。

上述表达式证明了信号平方的积分等于其傅里叶变换平方的积分。

更新于：2022年1月7日

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