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法学研究信号与系统 – 瑞利能量定理
信号的能量
信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的能量定义为该信号幅度平方的曲线下面积，即：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$
只有当信号的能量 (E) 有限，即 0 < E < $\infty$ 时，才存在能量信号。
瑞利能量定理
定理 - 瑞利能量定理指出，一个函数的幅度平方积分（即函数的能量）等于其傅里叶变换的幅度平方积分，即：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega }}$$
证明
考虑一个函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，其傅里叶变换对为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
假设 $\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的共轭，其傅里叶变换对为：
$$\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-\omega }\right)}}$$
那么，信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的能量由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$
$$\mathrm{\because \left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
现在，用其傅里叶逆变换替换函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathrm{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e^{j\omega t}d\omega}\right]}\:\mathit{dt}}$$
通过交换上式中的积分顺序，得到：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\left[\int_{-\infty}^{\infty }\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{j\omega t}\:dt} \right]\:\mathit{d\omega }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{E}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}\:\mathit{d\omega}}$$
$$\mathrm{\because \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\right|^{\mathrm{2}}}$$
因此，我们有：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty }\left| \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega}\:\mathrm{=}\:\int_{\infty}^{\infty}\left| \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$
这就是瑞利能量定理。瑞利能量定理也称为能量信号的帕塞瓦尔定理。
上述表达式证明了信号平方的积分等于其傅里叶变换平方的积分。
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