数据结构
网络
关系型数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律研究帕塞瓦尔定理与傅里叶变换的帕塞瓦尔恒等式
傅里叶变换
对于连续时间函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的傅里叶变换可以定义为：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt }}$$
而逆傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }} $$
傅里叶变换的帕塞瓦尔定理
陈述 - 帕塞瓦尔定理指出，信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 在时域中的能量 [如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是非周期的] 或功率 [如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是周期的] 等于其在频域中的能量或功率。
因此，如果：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\;and \;x_{\mathrm{2}} \left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )}}$$
那么，傅里叶变换的帕塞瓦尔定理指出：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}^{*}\left ( \omega \right )d\omega}} $$
其中，$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}}$ 和 $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}}$ 是复函数。
证明
帕塞瓦尔关系由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}^{*}\left ( \omega \right )d\omega}}$$
根据逆傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{LHS \mathrm{=} \mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega \right ]x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt}} $$
通过交换上述表达式右侧积分的顺序，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )e^{j\omega t}dt \right ]d\omega }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt \right ]^{*}d\omega }}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}^{*}\left ( \omega \right )d\omega \mathrm{=}\mathrm{RHS}}}$$
傅里叶变换的帕塞瓦尔恒等式
傅里叶变换的帕塞瓦尔恒等式指出，信号 $\mathit{x\left ( t \right )}$ 的能量含量由下式给出：
$$\mathrm{ \mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left | x\left ( t \right ) \right |^{\mathrm{2}}dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}d\omega}}$$
帕塞瓦尔恒等式也称为能量定理或瑞利能量定理。
量 $\mathrm{\mathit{\left [ \left | X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}\right ]}}$ 称为信号 $\mathit{x\left ( t \right )}$ 的能量密度谱。
证明
如果 $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}}$ = $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}}$ = $\mathit{x\left ( t \right )}$; 则信号的能量由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )x^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )X^{*}\left ( \omega \right )d\omega}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because x\left ( t \right )x^{*}\left ( t \right )\mathrm{=}\left |x\left ( t \right ) \right |^{\mathrm{2}}\: \: and\: \: X\left ( \omega \right )X^{*}\left ( \omega \right )\mathrm{=}\left |X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left | x\left ( t \right ) \right |^{\mathrm{2}}dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}d\omega\; \; \; \; \mathrm{\left ( 证毕 \right )}}}$$
41K+ 次浏览
