傅里叶变换的卷积性质 – 陈述、证明和示例

傅里叶变换

连续时间函数 𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

傅里叶变换的卷积性质

陈述 – 两个信号在时域中的卷积等效于它们在频域中的频谱相乘。因此，如果

$$\mathrm{x_1(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)\:and\:x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_2(\omega)}$$

那么，根据傅里叶变换的时域卷积性质，

$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)*X_2(\omega)}$$

证明

两个连续时间信号 𝑥₁(𝑡) 和 𝑥₂(𝑡) 的卷积定义为：

$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$$

现在，根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{X(\omega)=F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-j \omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau]e^{-j \omega t}dt }$$

通过交换积分顺序，我们得到：

$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(t-\tau)e^{-j \omega t}dt]d\tau }$$

通过在第二个积分中替换 (𝑡 − 𝜏) = 𝑢，我们得到：

$$\mathrm{t = (u + \tau)\: and\: dt = du}$$

$$\mathrm{\therefore F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(u)e^{-j \omega (u+\tau)}du]d\tau}$$

$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(u)e^{-j \omega u}du]e^{-j\omega \tau}d\tau}$$

$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)X_2(\omega)e^{-j\omega\tau}d\tau.}$$

$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=[\int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau]X_{2}(\omega)-X_{1}(\omega).X_{2}(\omega)}$$

$$\mathrm{\therefore F[x_1(t)*x_2(t)]=X_1(\omega).X_2(\omega)}$$

或者，它也可以表示为：

$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega).X_2(\omega)}$$

数值示例

使用傅里叶变换，求给定信号的卷积：

$$\mathrm{x_1(t)=te^{-t}u(t)\:and\:x_2(t)=te^{-2t}u(t)}$$

解答

已知

$$\mathrm{x_1(t)=te^{-t}u(t)}$$

𝑥₁(𝑡) 的傅里叶变换为：

$$\mathrm{X_1(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^2}}$$

以及

$$\mathrm{x_2(t)=te^{-2t}u(t)}$$

𝑥₂(𝑡) 的傅里叶变换为：

$$\mathrm{X_2(\omega)=\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$

现在，根据傅里叶变换的卷积性质，我们有：

$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega).X_2(\omega)}$$

因此，

$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=F^{-1}[X_1(\omega).X_2(\omega)]=F^{-1}[\frac{1}{(1+j\omega)^2.(2+j\omega)^2}]}$$

通过进行部分分式分解，我们得到：

$$\mathrm{X(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^2.(2+j\omega)^2}}$$

$$\mathrm{=\frac{A}{(1+j\omega)}+\frac{B}{(1+j\omega)^2}+\frac{C}{(2+j\omega)}+\frac{D}{(2+j\omega)^2}}$$

求解后，我们得到 A、B、C 和 D 的值为

$$\mathrm{𝐴 = −2;\: 𝐵 = 1;\: 𝐶 = 2; \:𝐷 = 1}$$

$$\mathrm{\therefore X(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^2.(2+j\omega)^2}}$$

$$\mathrm{=\frac{-2}{(1+j\omega)}+\frac{1}{(1+j\omega)^2}+\frac{2}{(2+j\omega)}+\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$

通过进行傅里叶逆变换，我们得到信号 𝑥₁(𝑡) 和 𝑥₂(𝑡) 的卷积为：

$$\mathrm{x(t)=-2e^{-t}u(t)+te^{-t}u(t)+2e^{-2t}u(t)+te^{-2t}u(t)}$$

Manish Kumar Saini

更新于：2021年12月6日

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