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法律学傅里叶变换的频域导数性质
傅里叶变换
连续时间函数的傅里叶变换可以定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}\:X(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$
傅里叶变换的频域微分性质
说明 − 傅里叶变换的频域导数性质指出，在时域内将函数 X(t) 乘以 t 等效于在其频域内对其傅里叶变换进行微分。因此，如果
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据频域导数性质，
$$\mathrm{t\cdot x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$
对上述等式两边关于 ω 求导，得到：
$$\mathrm{\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\frac{d}{d\omega}\left [ \int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} x(t)\frac{d}{d\omega}\left [e^{-j\omega t} \right ]dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} x(t)(-jt)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=-j\int_{−\infty }^{\infty}t\cdot x(t)e^{-j\omega t}dt=-jF[tx(t)]}$$
因此，
$$\mathrm{F[tx(t)]=j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$
或者，它可以表示为
$$\mathrm{t\cdot x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$
数值示例
利用傅里叶变换的频域导数性质，求函数 $[te^{-2t}\:u(t)]$ 的傅里叶变换。
解答
已知
$$\mathrm{x(t)=te^{-2t}u(t)}$$
令，
$$\mathrm{x_{1}(t)=e^{-2t}u(t)}$$
根据单边指数函数的傅里叶变换定义，我们有：
$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$
因此，对于函数 $X_{1}(t)$，我们有：
$$\mathrm{X_{1}(\omega)=F[e^{-2t}u(t)]=\frac{1}{2+j\omega}}$$
现在，利用傅里叶变换的频域导数性质 $[i.e., t\cdot x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)] $，我们得到：
$$\mathrm{F[te^{-2t}u(t)]=j\frac{d}{d\omega}F[e^{-2t}u(t)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[te^{-2t}u(t)]=j\frac{d}{d\omega}\left (\frac{1}{2+j\omega} \right )=j\frac{-1(j)}{(2+j\omega)^2}}$$
因此，给定函数的傅里叶变换为：
$$\mathrm{F[te^{-2t}u(t)]=\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$
或者，它也可以写成：
$$\mathrm{te^{-2t}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$
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