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法学研究离散时间傅里叶变换的时移和频移特性
离散时间傅里叶变换
离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。
数学上，离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 定义为：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
离散时间傅里叶变换的时移特性
说明 - 离散时间傅里叶变换的时移特性指出，如果信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$在时域中移动 *k*，则其 DTFT 乘以$\mathit{e^{-j\omega k }}$。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
那么
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{-j\omega k }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
其中，*k* 为整数。
证明
根据离散时间傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
将$\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}$ 代入，则 $\mathit{n}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{m\mathrm{+}k}\right)}$ 代入上述求和式，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{e^{-j\omega \mathrm{\left( \mathit{m}\mathrm{+}\mathit{k}\right)}}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{e^{-j\omega m}}\mathit{e^{-j\omega k}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-j\omega k}}\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{e^{-j\omega m}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)};\:\:\mathrm{\left ( 时延 \right )}}$$
类似地
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)};\:\:\mathrm{\left ( 时提前 \right )}}$$
离散时间傅里叶变换的频移特性
说明 - DTFT 的频移特性指出，在时域中用 $\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}$ 乘以离散时间序列对应于在频域中移动 $\omega _{\mathrm{0}}$。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
那么
$$\mathrm{\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega-\omega _{\mathrm{0}} }\right)}}$$
证明
根据 DTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-j\mathrm{\left( \omega -\omega _{\mathrm{0}} \right )}\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X{\mathrm{\left( \omega -\omega _{\mathrm{0}} \right )}}}}$$
DTFT 的时移特性和频移特性互为对偶。
数值示例 (1)
使用 DTFT 的时移特性，求序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{n}-\mathrm{1}\right )}\:\mathrm{+}\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{n}\mathrm{+}\mathrm{2}\right )}$ 的 DTFT。
解答
给定的离散时间序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{n}-\mathrm{1}\right )}\:\mathrm{+}\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{n}\mathrm{+}\mathrm{2}\right )}}$$
由于单位阶跃序列的 DTFT 定义为：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
因此，使用 DTFT 的时移特性$\mathrm{\left [ i.e,\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{-j\omega k }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right ]}$，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n -\mathrm{1}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-j\omega }}\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{e^{-j\omega }}}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n \mathrm{+}\mathrm{2}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\mathrm{2}\omega }}\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{e^{j\mathrm{2}\omega }}}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
$$\mathrm{\therefore\mathit{F} \mathrm{\left [ \mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n -\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n \mathrm{+}\mathrm{2}}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{e^{-j\omega }}}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{e^{j\mathrm{2}\omega }}}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
数值示例 (2)
使用 DTFT 的频移特性，求序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\mathrm{2\omega }}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 DTFT。
解答
给定的离散时间序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\mathrm{2\omega }}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
由于单位阶跃序列的 DTFT 为：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
现在，使用 DTFT 的频移特性$\mathrm{\left [ i.e,\mathit{e^{j\omega_{\mathrm{0}} n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega-\omega _{\mathrm{0}} }\right)} \right ]}$, 我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{e^{j\mathrm{2\omega }}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \frac{1}{1-\mathit{e^{-j\omega }}} \right ]}_{\omega =\mathrm{\left ( \omega -\mathrm{2} \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{e^{j\mathrm{2\omega }}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{1-\mathit{e^{-j\mathrm{\left ( \omega -\mathrm{2} \right )} }}}}$$
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