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法学傅里叶变换的线性性和频移特性
傅里叶变换
对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换可以定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅里叶变换的线性特性
说明 - 傅里叶变换的线性特性指出，两个信号的加权和的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的加权和。
因此，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$
那么，根据傅里叶变换的线性特性，
$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
其中，a 和 b 是常数。
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
或者，它也可以写成：
$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
傅里叶变换的频移特性
说明 – 傅里叶变换的频移特性指出，用指数 $(e^{j \omega_{0} t })$ 乘以时域信号 $x(t)$ 会导致频谱移动 $\omega_{0}$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据频移特性，
$$\mathrm{e^{j \omega_{0} t }\:x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})}$$
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[e^{j \omega_{0} t} x(t)]=\int_{−\infty}^{\infty} e^{j \omega_{0} t} x(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(\omega - \omega_{0})t}dt=X(\omega-\omega_{0})}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[e^{j \omega_{0} t}x(t)]=X(\omega-\omega_{0})}$$
或者，它也可以表示为：
$$\mathrm{e^{-j \omega_{0} t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega+\omega_{0})}$$
同样地，
$$\mathrm{e^{j \omega_{0} t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})}$$
数值例子
利用傅里叶变换的线性性和频移特性，求 $[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]$ 的傅里叶变换。
解答
已知：
$$\mathrm{x(t)=cos\:\omega_{0} t\:u(t)}$$
利用欧拉公式，我们可以写成：
$$\mathrm{cos\:\omega_{0} t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$
$$\mathrm{\therefore\:x(t)=cos\:\omega_{0} t\:u(t)=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}.u(t) \right ]}$$
现在，$x(t)$ 的傅里叶变换是：
$$\mathrm{F[x(t)]=F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=F\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}.u(t) \right ]}$$
利用线性特性 $[i.e., ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)]$，我们得到：
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{1}{2}F[e^{j \omega_{0} t}u(t)]+\frac{1}{2}F[e^{-j \omega_{0} t}u(t)]}$$
现在，利用傅里叶变换的频移特性 $[i.e.,e^{j\omega_{0} t }x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})]$，我们得到：
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{1}{2}\{ F[u(t)]\}_{\omega=(\omega-\omega_{0})}+\frac{1}{2}\{ F[u(t)]\}_{\omega=(\omega + \omega_{0})}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{1}{2} \left [\{ \pi\delta(\omega-\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega-\omega_{0})} \} +\{ \pi\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega+\omega_{0})} \} \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{\pi}{2}\delta (\omega-\omega_{0}) + \frac{\pi}{2}\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}}$$
因此，给定信号的傅里叶变换为：
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\left [\frac{\pi}{2}\delta (\omega-\omega_{0}) + \frac{\pi}{2}\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right ]}$$
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