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法学离散时间傅里叶逆变换
离散时间傅里叶逆变换 (IDTFT) 定义为从其频率响应 X(ω) 中找到离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的过程。
数学上，离散时间傅里叶逆变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\: \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega n}}\:\mathit{d\omega}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
对于$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的方程 (1) 的解对于分析目的很有用，但对于函数 X(ω) 的典型函数形式来说，很难求解。因此，确定离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 值的另一种方法直接来自傅里叶变换的定义，即：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{n=-\infty }^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}\:\mathrm{=}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{3}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{2}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}2\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}3\omega}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
因此，从 X(ω) 的方程我们可以说，如果 X(ω) 可以表示为方程 (2) 中给出的复指数级数，则$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 只是$\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}$ 的系数。
数值例子 (1)
求 X(ω) 的离散时间傅里叶逆变换。
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega}\:;\mathrm{for}\:-\pi \leq \omega \leq \pi}$$
解答
给定的傅里叶变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega}}$$
根据离散时间傅里叶逆变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}^{-1}\mathrm{\left[ \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi }^{\pi }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega n}}\:\mathit{d\omega}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega }\mathit{e}^{\mathit{j}\omega n}\:\mathit{d\omega}\:\mathrm{=}\:\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathit{e}^{\mathit{j}\omega\mathrm{\left( \mathit{n}-1\right )} }\:\mathit{d\omega}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\mathrm{\left[ \frac{\mathit{e}^{\mathit{j}\omega\mathrm{\left( \mathit{n}-1\right)}}}{\mathit{j}\mathrm{\left( \mathit{n}-1\right)}} \right]}^{\pi}_{-\pi}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\mathrm{\left[\frac{\mathit{e} ^{\mathit{j\pi}\mathrm{\left(\mathit{n}-1\right)}}-\mathit{e}^{-\mathit{j\pi \mathrm{\left ( n-1 \right )}}}}{\mathit{j}\mathrm{\left ( \mathit{n}-1 \right )}}\right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\pi \mathrm{\left(\mathit{n}-1 \right)}}\mathrm{\left[\frac{\mathit{e} ^{\mathit{j\pi}\mathrm{\left(\mathit{n}-1\right)}}-\mathit{e}^{-\mathit{j\pi \mathrm{\left ( \mathit{n}-1 \right )}}}}{2\mathit{j}} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\sin\:\pi \mathrm{\left(\mathit{n}-1 \right )}}{\pi\mathrm{\left( \mathit{n}-1 \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}^{-1}\mathrm{\left[ \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\sin\:\pi \mathrm{\left(\mathit{n}-1 \right )}}{\pi\mathrm{\left( \mathit{n}-1 \right )}}}$$
数值例子 (2)
确定函数$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$，即 X(ω) 的离散时间傅里叶逆变换。
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:4\:\mathrm{+}\:\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega}\:\mathrm{+}\:2\mathit{e}^{-\mathit{j}2\omega}\:\mathrm{+}\:4\mathit{e}^{-\mathit{j}4\omega}}$$
解答
给定的傅里叶变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:4\:\mathrm{+}\:\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega}\:\mathrm{+}\:2\mathit{e}^{-\mathit{j}2\omega}\:\mathrm{+}\:3\mathit{e}^{-\mathit{j}3\omega}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
现在，根据离散时间傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{n=-\infty }^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega n}\:\mathrm{=}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{3}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{2}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j}\omega }\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j}2\omega }\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j}3\omega }\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{4}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j}4\omega }\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
比较方程 (3) 和 (4)，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:4;\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{=}\:1;\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\:\mathrm{=}\:2;\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}\:\mathrm{=}\:0;\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{4}\right)}\:\mathrm{=}\:4}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left\{4,1,2,0,4 \right\}}}$$
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