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法律研究信号与系统 – 傅里叶变换的时间积分性质
傅里叶变换
对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:e^{-jwt}\:dt}$$
并且**逆傅里叶变换**定义为：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$
傅里叶变换的时间积分性质
陈述
连续时间傅里叶变换的时间积分性质指出，函数 x(t) 在时域的积分等价于其傅里叶变换在频域除以因子 jω。因此，如果：
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega )}$$
那么，根据时间积分性质：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{X(\omega )}{j\omega };\:\:(if\:X(0)=0)}$$
证明
当 X(0)=0 时，可以使用分部积分法证明 CTFT 的时间积分性质。
因此，根据逆傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$
将 t 替换为变量 τ，得到：
$$\mathrm{x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$
在两边对 $(-\infty)$ 到 (t) 进行时间积分，得到：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\int_{-\infty}^{t}\left [ \frac{1} {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty }X(\omega)\: e^{j\omega\tau }\:d\tau \right]d\omega}$$
通过交换上式右边积分的顺序，得到：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega )\left [\int_{-\infty}^{t} e^{j\omega\tau}d\tau\right]d\omega}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega )\left [ \frac{e^{j\omega\tau}}{j\omega}\right]^t_{-\infty}\:d\omega}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left [\frac{X(\omega)}{j\omega} \right]e^{j\omega t} d\omega=F^{-1}\left [ \frac{X(\omega)}{j\omega} \right ]}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau \right ]=\frac{X(\omega)}{j\omega}}$$
或者，它也可以表示为：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{X(\omega)}{j\omega}}$$
注意
当 $X(0)
eq0;$ 时，函数 x(t) 不是能量函数，因此 $[\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau]$ 的傅里叶变换包括一个冲激函数，即：
$$\mathrm{F\left [\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau \right ]=\frac{X(\omega)}{j\omega}+\pi\:X(0)\delta(\omega)}$$
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