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法学傅里叶变换——表示和存在条件
傅里叶变换
傅里叶变换定义为一种变换技术，它将信号从连续时间域变换到相应的频域，反之亦然。换句话说，傅里叶变换是一种将时间函数 $x(t)$ 变换为频率函数 X(ω) 的数学技术，反之亦然。
对于连续时间函数 $x(t)$，$x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为
$$\mathrm{X(ω)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$
关于傅里叶变换的几点
傅里叶变换可以应用于周期信号和非周期信号。
傅里叶变换广泛应用于线性时不变 (LTI) 系统分析、密码学、信号处理、信号分析等领域。
傅里叶变换的应用范围广泛，从雷达到扩频通信。
傅里叶变换的幅度和相位表示
傅里叶变换的幅度和相位表示是用于分析变换后的函数 X(ω) 的工具。函数 X(ω) 是频率 ω 的复值函数。因此，它可以写成：
$$\mathrm{X(ω)=X_{real}(\omega)+X_{img}(\omega)… (2)}$$
其中，
$X_{real}(\omega)$ 是函数 $X(\omega)$ 的实部，
$X_{img}(\omega)$ 是函数 $X(\omega)$ 的虚部。
因此，函数 $X(\omega)$ 的幅度由下式给出：
$$\mathrm{|X(\omega)|=\sqrt{X_{real}^{2}(\omega)}+X_{img}^{2}(\omega)… (3)}$$
函数 $X(\omega)$ 的相位由下式给出：
$$\mathrm{\angle\:X(\omega)=\tan^{-1}\left (\frac{X_{real}(\omega)}{X_{img}(\omega)} \right )… (4)}$$
注意
在函数的幅度 $(|X(\omega)|)$ 和频率 (ω) 之间绘制的图形称为该函数的幅度谱。
在函数的相位 $\angle\:X(\omega)$ 和频率之间绘制的图形称为该函数的相位谱。
幅度谱和相位谱一起称为该函数的频谱。
傅里叶变换的存在条件
傅里叶变换并非对所有非周期信号都存在。因此，对于一个函数 $x(t)$ 具有傅里叶变换，以下条件（称为狄利克雷条件）必须满足：
函数 $x(t)$ 在时间区间 $(-\infty\:to\:\infty)$ 上绝对可积，即
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}|X(t)|dt\:<\infty}$$
函数 $x(t)$ 在每一个有限时间区间内具有有限个最大值和最小值。
函数 $x(t)$ 在每一个有限时间区间内具有有限个不连续点。而且，这些不连续点都必须是有限的。
狄利克雷条件是充分条件，但不是必要条件，这意味着，满足这些条件的函数一定存在傅里叶变换。
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