有限持续序列的Z变换和收敛域

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具有有限样本数的序列称为有限持续序列。有限持续序列可以分为以下三种类型：

• 右半序列
• 左半序列
• 双边序列

右半序列

对于一个序列，当$\mathrm{\mathit{n}}$ < $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$时，$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ = 0，其中$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$可以是正数或负数，但必须是有限的，则该序列称为右半序列。如果$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ ≥ 0，则生成的序列是因果序列。因果序列的收敛域是整个z平面，除了𝑧 = 0。

数值例子 (1)

求因果序列的Z变换和收敛域。

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\,} \begin{Bmatrix} 1, & 0,& -4,& 6,& 5,& 4 \ \uparrow & & & & & \ \end{Bmatrix} }$$

解答

给定序列是右半序列。给定序列的值为：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1},x\left ( \mathrm{1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{0},x\left ( \mathrm{2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{-4},x\left ( \mathrm{3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{6},x\left ( \mathrm{4} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5},x\left ( \mathrm{5} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4}}}$$

序列的Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

因此，对于给定序列的值，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )}}$$

$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, =\,}x\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{1} \right )z^{-\mathrm{1}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{2} \right )z^{-\mathrm{2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{3} \right )z^{-\mathrm{3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{4} \right )z^{-\mathrm{4}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{5} \right )z^{-\mathrm{5}}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1}-\mathrm{4}z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{6}z^{\mathrm{-3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{5}z^{\mathrm{-4}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{4}z^{\mathrm{-5}} }}$$

给定序列是因果序列，因此$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$在除𝑧 = 0外的所有z值上都收敛，即收敛域是整个z平面，除了𝑧 = 0。

左半序列

对于一个序列，当$\mathrm{\mathit{n}}$ ≥ $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$时，$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ = 0，其中$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$可以是正数或负数，但必须是有限的，则该序列称为左半序列。当$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ ≤ 0时，则生成的序列是反因果序列。反因果序列的收敛域是整个z平面，除了𝑧 = ∞。

数值例子 (2)

求反因果序列的Z变换和收敛域。

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\,} \begin{Bmatrix} 1, & -2,& -1,& 2,& 3,& 4 \ & & & & & \uparrow\ \end{Bmatrix} }$$

解答

给定序列是左半序列。给定序列的值为：

$$\mathrm{\mathit{x\left (\mathrm{-5} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1},x\left (\mathrm{-4} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{-2},x\left (\mathrm{-3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{-1},x\left (\mathrm{-2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{2},x\left (\mathrm{-1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{3},x\left (\mathrm{0} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4}}}$$

由于Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

因此，对于给定序列的值，Z变换为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )}}$$

$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, =\,}x\left ( \mathrm{-5} \right )z^{\mathrm{5}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-4} \right )z^{\mathrm{4}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-3} \right )z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-2} \right )z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-1} \right )z\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{0} \right )}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{5}}-\mathrm{2}z^{\mathrm{4}}-z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{2}z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{3}z\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{4} }}$$

由于给定序列是反因果序列，因此$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$在除𝑧 = ∞外的所有z值上都收敛，即收敛域是整个z平面，除了𝑧 = ∞。

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双边序列

双边序列是指同时存在于左侧和右侧的序列。双边序列的收敛域是整个z平面，除了𝑧 = 0和𝑧 = ∞。

数值例子 (3)

求双边序列的Z变换和收敛域。

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\,} \begin{Bmatrix} 5, & 1,& 2,& 3,& 4,& 0,& 5,& \ & & & \uparrow& & \ \end{Bmatrix} }$$

解答

给定双边序列的值为：

$$\mathrm{\mathit{x\left (\mathrm{-3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5},x\left (\mathrm{-2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1},x\left (\mathrm{-1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{2},x\left (\mathrm{0} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{3},x\left (\mathrm{1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4},x\left (\mathrm{2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{0},x\left (\mathrm{3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5}}}$$

Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

对于序列的值，Z变换为：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( \mathrm{-3} \right )z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{-2} \right )z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{-1} \right )z\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{1} \right )z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{2} \right )z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{3} \right )z^{\mathrm{-3}}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5}z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, +\,}z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}z\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}\mathrm{\, +\,}\mathrm{4}z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{5}z^{\mathrm{-3}}}}$$

收敛域是整个z平面，除了𝑧 = 0和𝑧 = ∞。