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法律Z 变换的初始值定理
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 变换的初始值定理
初始值定理使我们能够直接从信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 变换 X(z) 计算信号的初始值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$，而无需求 X(z) 的反 Z 变换。
**陈述** - Z 变换的初始值定理指出，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
其中，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个因果序列。那么，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
证明
根据因果序列的 Z 变换定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:...}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{3}}}}\:\mathrm{+}\:...}$$
现在，在两边取极限 $\mathit{z}\to \infty$，得到：
$$\mathrm{\displaystyle \lim_{z \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to \infty}\mathrm{\left[\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{3}}}}\:\mathrm{+}\:... \right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \displaystyle \lim_{z \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{+}\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{+}\:\mathrm{0}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
因此，它直接从函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 变换中得到函数的初始值。
数值示例 (1)
使用 Z 变换的初始值定理，求信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的初始值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$，如果 X(z) 由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\:\mathit{z}\:\mathrm{+}\:1}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
解决方案
信号给定的 Z 变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\:\mathit{z}\:\mathrm{+}\:1}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1+\mathrm{\left( \frac{1}{\mathit{z}}\right)}+\mathrm{\left( \frac{1}{\mathit{z^{2}}}\right )}}{\mathrm{\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}}$$
现在，使用 Z 变换的初始值定理 $\mathrm{\left[ i.e,\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \right]}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty}\mathrm{\left[ \frac{1+\mathrm{\left( \frac{1}{\mathit{z}}\right)}+\mathrm{\left ( \frac{1}{\mathit{z}^{2}}\right )}}{\mathrm{\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left ( 1+\frac{1}{\mathit{z}} \right )}}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1\:\mathrm{+}\:0\:\mathrm{+}\:0}{\mathrm{\left(1+0 \right)}\mathrm{\left( 1+0\right)}}\:\mathrm{=}\:1}$$
因此，给定函数的初始值为 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$ = 1。
数值示例 (2)
如果 X(z) 由下式给出，求序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的初始值 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\:\mathrm{+}\:\mathrm{4}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
解决方案
序列给定的 Z 变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\:\mathrm{+}\:\mathrm{4}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{z\mathrm{\left( 1+\frac{4}{\mathit{z}}\right )}}{\mathrm{\mathit{z^{\mathrm{2}}}\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left( 1+\frac{4}{\mathit{z}}\right )}}{\mathrm{\mathit{z}\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}}$$
使用 Z 变换的初始值定理，得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty}\mathrm{\left[ \frac{\mathrm{\left( 1+\frac{4}{\mathit{z}}\right )}}{\mathrm{\mathit{z}\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}\right ]}\:\mathrm{=}\:0}$$
因此，给定序列的初始值等于 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:0 $
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