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法律Z 变换的初始值定理
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 x(n) 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
Z 变换的初始值定理
初始值定理使我们能够直接从信号 x(n) 的 Z 变换 X(z) 计算信号的初始值，即 x(0)，而无需求 X(z) 的反 Z 变换。
**陈述** - Z 变换的初始值定理指出，如果
x(n)ZT↔X(z)
其中，x(n) 是一个因果序列。那么，
x(0)=limn→0x(n)=limz→∞X(z)
证明
根据因果序列的 Z 变换定义，我们有：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=0x(n)z−n
⇒Z[x(n)]=X(z)=x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+...
⇒Z[x(n)]=X(z)=x(0)+x(1)z+x(2)z2+x(3)z3+...
现在，在两边取极限 z→∞，得到：
limz→∞X(z)=limz→∞[x(0)+x(1)z+x(2)z2+x(3)z3+...]
⇒limz→∞X(z)=x(0)+0+0+0+...=x(0)
∴x(0)=limn→0x(n)=limz→∞X(z)
因此，它直接从函数 x(n) 的 Z 变换中得到函数的初始值。
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数值示例 (1)
使用 Z 变换的初始值定理，求信号 x(n) 的初始值，即 x(0)，如果 X(z) 由下式给出：
X(z)=z2+z+1(z+2)(z+1)
解决方案
信号给定的 Z 变换为：
X(z)=z2+z+1(z+2)(z+1)
⇒X(z)=1+(1z)+(1z2)(1+2z)(1+1z)
现在，使用 Z 变换的初始值定理 [i.e,x(0)=limn→0x(n)=limz→∞X(z)]，得到：
x(0)=limz→∞X(z)=limz→∞[1+(1z)+(1z2)(1+2z)(1+1z)]
⇒x(0)=1+0+0(1+0)(1+0)=1
因此，给定函数的初始值为 x(0) = 1。
数值示例 (2)
如果 X(z) 由下式给出，求序列 x(n) 的初始值 x(0)：
X(z)=z+4(z+2)(z+1)
解决方案
序列给定的 Z 变换为：
X(z)=z+4(z+2)(z+1)
⇒X(z)=z(1+4z)z2(1+2z)(1+1z)=(1+4z)z(1+2z)(1+1z)
使用 Z 变换的初始值定理，得到：
x(0)=limz→∞[(1+4z)z(1+2z)(1+1z)]=0
因此，给定序列的初始值等于 x(0)=0
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