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法律研究使用Z变换分析LTI系统
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。在数学上，如果x(n)是一个离散时间函数，那么它的Z变换定义为：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
离散时间系统的变换分析
Z变换在离散时间LTI（线性时不变）系统的设计和分析中起着至关重要的作用。
离散时间LTI系统的传递函数
该图显示了一个离散时间LTI系统，其冲激响应为h(n)。
假设系统对输入x(n)产生输出y(n)。那么：
y(n)=h(n)∗x(n)
对等式两边进行Z变换，得到：
Z[y(n)]=Z[h(n)∗x(n)]
∴Y(z)=H(z)X(z)
因此，系统冲激响应h(n)的Z变换由下式给出：
H(z)=Y(z)X(z)
其中，H(z)称为离散时间LTI系统的**传递函数**，可以定义如下：
离散时间LTI系统的**传递函数**定义为输出序列的Z变换与输入序列x(n)的Z变换之比，忽略初始条件。
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离散时间LTI系统的传递函数与差分方程之间的关系
一个nth阶离散时间LTI系统可以用以下差分方程来描述：
N∑k=0aky(n−k)=M∑k=0bkx(n−k)
展开上述差分方程，得到：
a0y(n)+a1y(n−1)+a2y(n−2)+a3y(n−3)+...+aNy(n−N)=b0x(n)+b1x(n−1)+b2x(n−2)+b3x(n−3)+...+bMx(n−M)
对等式两边进行Z变换，并忽略初始条件，得到：
Z[a0y(n)+a1y(n−1)+a2y(n−2)+a3y(n−3)+...+aNy(n−N)]=Z[b0x(n)+b1x(n−1)+b2x(n−2)+b3x(n−3)+...+bMx(n−M)]
⇒a0Y(z)+a1z−1Y(z)+a2z−2Y(z)+a2z−3Y(z)+...+aNz−NY(z)=b0X(z)+b1z−1X(z)+b2z−2X(z)+b3z−3X(z)+...+bMz−MX(z)
⇒[a0+a1z−1+a2z−2+a3z−3+...+aNz−N]Y(z)=[b0+b1z−1+b2z−2+b3z−3+...+bMz−M]X(z)
⇒Y(z)X(z)=b0+b1z−1+b2z−2+b3z−3+...+bMz−Ma0+a1z−1+a2z−2+a3z−3+...+aNz−N
∴Y(z)X(z)=H(z)=∑Mk=0bkz−k∑Nk=0akz−k
其中，H(z)是离散时间系统的传递函数，上述方程给出了系统传递函数与差分方程之间的关系。
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