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法律研究使用Z变换分析LTI系统
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。在数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间函数，那么它的Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
离散时间系统的变换分析
Z变换在离散时间LTI（线性时不变）系统的设计和分析中起着至关重要的作用。
离散时间LTI系统的传递函数
该图显示了一个离散时间LTI系统，其冲激响应为$\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。
假设系统对输入$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$产生输出$\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。那么：
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
对等式两边进行Z变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{\mathrm{=}}\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
因此，系统冲激响应$\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}}$$
其中，H(z)称为离散时间LTI系统的**传递函数**，可以定义如下：
离散时间LTI系统的**传递函数**定义为输出序列的Z变换与输入序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换之比，忽略初始条件。
离散时间LTI系统的传递函数与差分方程之间的关系
一个nth阶离散时间LTI系统可以用以下差分方程来描述：
$$\mathrm{\sum_{\mathit{k=\mathrm{0}}}^{\mathit{N}}\mathit{a_{\mathit{k}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=\mathrm{0}}}^{\mathit{M}}\mathit{b_{\mathit{k}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$
展开上述差分方程，得到：
$$\mathrm{\mathit{a_{\mathrm{0}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{1}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{3}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{3}}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathit{N}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathit{N}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{b_{\mathrm{0}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{1}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{3}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{3}}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathit{M}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathit{M}}\right)}}$$
对等式两边进行Z变换，并忽略初始条件，得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{a_{\mathrm{0}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{1}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{3}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{3}}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathit{N}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathit{N}}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{b_{\mathrm{0}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{1}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{3}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{3}}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathit{M}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathit{M}}\right)}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{a_{\mathrm{0}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{1}}}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{3}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:...\mathrm{+}\mathit{a_{\mathit{N}}}\mathit{z^{-\mathit{N}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{b_{\mathrm{0}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{1}}}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{3}}}\mathit{z^{-\mathrm{3}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:...\mathrm{+}\mathit{b_{\mathit{M}}}\mathit{z^{-\mathit{M}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{\left[ \mathit{a_{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{1}}}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{3}}}\mathit{z^{-\mathrm{3}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathit{N}}}\mathit{z^{-\mathit{N}}}\right]}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathit{b_{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{1}}}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{3}}}\mathit{z^{-\mathrm{3}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathit{M}}}\mathit{z^{-\mathit{M}}} \right ]}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{b_{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{1}}}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{3}}}\mathit{z^{-\mathrm{3}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathit{M}}}\mathit{z^{-\mathit{M}}}}{\mathit{a_{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{1}}}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{2}}}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathrm{3}}}\mathit{z^{-\mathrm{3}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{\mathit{N}}}\mathit{z^{-\mathit{N}}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\sum_{\mathit{k=\mathrm{0}}}^{\mathit{M}}\mathit{b}_{\mathit{k}}\mathit{z}^{-\mathit{k}}}{\sum_{\mathit{k=\mathrm{0}}}^{\mathit{N}}\mathit{a}_{\mathit{k}}\mathit{z}^{-\mathit{k}}}}$$
其中，$\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$是离散时间系统的传递函数，上述方程给出了系统传递函数与差分方程之间的关系。
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