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法律研究利用傅里叶变换分析LTI系统
对于连续时间函数𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅里叶变换可以定义为：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
利用傅里叶变换进行系统分析
考虑一个由以下微分方程描述的LTI（线性时不变）系统：
$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}}$$
对上述方程两边进行傅里叶变换，得到：
$$\mathrm{F\left [ \sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=F\left [ \sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$
利用傅里叶变换的线性性质$\mathrm{\left [ i.e.,\: ax_{1}\left ( t \right )+bx_{2}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}\left ( \omega \right )+bX_{2}\left ( \omega \right ) \right ] }$，得到：
$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}F\left [ \frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}F\left [ \frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$
现在，利用傅里叶变换的时间微分性质$\mathrm{\left [ i.e.,\frac{\mathrm{d} x\left ( t \right )}{\mathrm{d} t}\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega X\left ( \omega \right ) \right ] }$，得到：
$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left ( j\omega \right )^{k}Y\left ( \omega \right )=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\left ( j\omega \right )^{k}X\left ( \omega \right )}$$
$$\mathrm{\Rightarrow Y\left ( \omega \right )\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left ( j\omega \right )^{k}=X\left ( \omega \right )\sum_{k=0}^{M}b_{k}\left ( j\omega \right )^{k}}$$
因此，给定LTI系统的传递函数为：
$$\mathrm{H\left ( \omega \right )=\frac{Y\left ( \omega \right )}{X\left ( \omega \right )}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}\left ( j\omega \right )^{k}}{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left ( j\omega \right )^{k}}}$$
这里，𝐻(𝜔)被称为LTI系统的频率响应。
现在，当对系统施加脉冲输入时，即：
$$\mathrm{x\left ( t \right )=\delta \left ( t \right )}$$
然后：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=1\; and\; Y\left ( \omega \right )=H\left ( \omega \right )}$$
同时：
$$\mathrm{F^{-1}\left [ H\left ( \omega \right ) \right ]=h\left ( t \right )}$$
这里，ℎ(𝑡)称为LTI系统的冲激响应。冲激响应的傅里叶变换称为系统的频率响应或传递函数。
系统的频率响应表示为：
$$\mathrm{H\left ( \omega \right )=\left | H\left ( \omega \right ) \right |e^{j\angle H\left ( \omega \right )}}$$
其中：
$\mathrm{\left | H\left ( \omega \right ) \right |}$ 称为系统的幅频响应，并且
$\mathrm{e^{j\angle H\left ( \omega \right )}}$ 称为系统的相频响应。
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