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法学Z变换的性质
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，离散时间信号或序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$
Z变换的性质
下表重点介绍了Z变换的一些重要性质：
| 性质 | 时域 | z域 | 收敛域 (ROC) |
|---|---|---|---|
| 记号 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}}$ |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ | |
| 线性与叠加 | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}}$ | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}\:\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 时移 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{z}^{-\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{与}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$ |
| $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathit{k}}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{z}^{\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{与}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\infty}$ | |
| z域缩放 | $\mathrm{\mathit{a}^{\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}\right )}}$ | $\mathrm{\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{1}}<\left|\mathit{z}\right|<\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 时间反转 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$ | $\mathrm{\mathrm{\left(\frac{1}{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}\right)}<\left| \mathit{z}\right|<\mathrm{\left(\frac{1}{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}\right)}}$ |
| 时间扩展 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\frac{\mathit{n}}{\mathit{k}}\right )}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}^{\mathit{k}}\right)}}$ | |
| 共轭 | $\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{z}^{*}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}<\left|\mathit{z} \right|<\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 卷积 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} * \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{至少}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}$ |
| 相关性 | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathit{x}_{\mathrm{2}}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \bigotimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$ | $\mathrm{至少}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}$ |
| 乘法 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2\mathit{\pi j}}\oint_{c}^{}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( v\right )}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\frac{\mathit{z}}{\mathit{v}}\right)}\mathit{v}^{\mathrm{-1}}\:\mathit{dv}}$ | $\mathrm{至少}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}} \mathit{R}_{\mathrm{2}}<\left| \mathit{z}\right|<\mathit{R}_{\mathrm{1}\mathit{u}}\mathit{R}_{\mathrm{2}\mathit{u}}$ |
| z域微分 | $\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{-z}\frac{\mathit{d}}{\mathit{dz}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}<\left|\mathit{z}\right|<\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 累加 | $\mathrm{\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\mathit{n}}\: \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}}$ | $\mathrm{\frac{1}{\mathrm{\left( \mathrm{1-}\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | |
| 帕塞瓦尔定理 | $\mathrm{\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\mathit{\infty}}\: \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2\mathit{\pi j}}\oint_{c}^{}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( v\right )}\mathit{X}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathit{v}^{*}}\right)}\mathit{v}^{\mathrm{-1}}\:\mathit{dv}}$ | |
| 初始值定理 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\mathrm{0}}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | |
| 终值定理 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\mathit{\infty }}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to \infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to 1}\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}} \right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathrm{如果\left ( \mathit{z-\mathrm{1}} \right )}\:\mathrm{在单位圆上或单位圆外没有极点。}}$ |
更新于：2022年1月11日
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