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法律研究希尔伯特变换的性质
希尔伯特变换
当信号所有正频率谱分量的相位角移位(-90°)，所有负频率谱分量的相位角移位(+90°)时，得到的时域函数称为该信号的**希尔伯特变换**。
信号$\mathit{x\left(t\right)}$的希尔伯特变换通过$\mathit{x\left(t\right)}$与(1/πt)的卷积得到，即：
$$\mathrm{\mathit{\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)*\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathit{\pi t}} \right )}}$$
希尔伯特变换的性质
希尔伯特变换的性质陈述和证明如下：
性质1
希尔伯特变换不改变信号的定义域。
证明
假设一个信号$\mathit{x\left(t\right)}$，它位于时域。$\mathit{x\left(t\right)}$的希尔伯特变换，即$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$，通过$\mathit{x\left(t\right)}$与.$\mathit{\left ( \frac{\mathrm{1}}{\pi t} \right )}$的卷积得到。因此，函数$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$也位于时域。所以，这证明了希尔伯特变换不改变信号的定义域。
性质2
希尔伯特变换不改变信号的幅度谱。
证明
$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$的傅里叶变换由下式给出：
$$\mathrm{\mathrm{\mathit{\hat{X}\left(\omega \right)}\mathrm{=}\mathit{-j}\:\mathrm{sgn}\left(\omega \right)\:X\left(\omega\right)}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because\left | -j\:\mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right |=\mathrm{1}}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{\left | \hat{X}\left(\omega\right) \right |=\left | X\left(\omega\right)\right |}}$$
这证明了希尔伯特变换不改变信号的幅度谱，即$\mathit{x\left(t\right)}$和$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$具有相同的幅度谱。
此外，函数$\mathit{x\left(t\right)}$和$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$具有相同的能量密度函数和相同的自相关函数。如果函数$\mathit{x\left(t\right)}$是带限的，则其希尔伯特变换$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$也是带限的。
性质3
信号$\mathit{x\left(t\right)}$与其希尔伯特变换$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$相互正交。
证明
为了证明$\mathit{x\left(t\right)}$和$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$之间的正交性，我们需要证明：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\mathrm{0}}}$$
现在，根据瑞利能量定理，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}^{*}\left(t\right)\:dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left(\omega\right)\hat{X}^{*}\left(\omega\right)\:d\omega} }$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left(\omega\right)\left |j\: \mathrm{sgn}\left(\omega\right)\hat{X}^{*}\left(\omega\right) \right |\: d\omega }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\frac{j}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\mathrm{sgn}\left(\omega\right)\left | X\left(\omega \right)\right |^{\mathrm{2}}\:d\omega } }$$
由于函数$\mathit{\mathrm{\mathrm{sgn}}\left(\omega \right ) }$是奇函数，函数$\mathit{\left | X\left(\omega\right) \right |^{\mathrm{2}}}$是偶函数。因此，RHS上的积分等于零，即：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\mathrm{0}}}$$
因此，这证明了$\mathit{x\left(t\right)}$和$\hat{x}(t)$在区间$(-\infty)$到$(\infty)$上相互正交。
性质4
如果$\mathit{x\left(t\right)}$的希尔伯特变换是$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$，则$\hat{x}(t)$的希尔伯特变换是$\mathit{\left [-x(t)\right ]}$。
证明
信号$\mathit{x\left(t\right)}$的希尔伯特变换等效于将信号$\mathit{x\left(t\right)}$通过一个传递函数等于$\mathit{\left [ -j\:\mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right ]}$的器件。因此，$\mathit{x\left(t\right)}$的双重希尔伯特变换等效于将$\mathit{x\left(t\right)}$通过级联的此类器件。因此，这种级联系统的总传递函数为：
$$\mathrm{\mathit{\left [ -j\:\mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right ]^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}\left [ \mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right ]^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}.\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{=}-\mathrm{1};\:\:\mathrm{for} \:\mathrm{all} \:\mathrm{frequencies}}}$$
因此，得到的输出是$\mathit{\left [-x(t)\right ]}$，即$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$的希尔伯特变换是$\mathit{\left [-x(t)\right ]}$。
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