Z 变换的共轭和累加性质

Z 变换

Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。

数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n} }}$$

Z 变换的共轭性质

说明 – Z 变换的共轭性质指出，如果

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right );\; \; \mathrm{ROC}\mathrm{\,=\,}\mathit{R} }}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{x^{*}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X^{*}\left ( z^{*} \right );\; \; \mathrm{ROC}\mathrm{\,=\,}\mathit{R}}}$$

证明

根据 Z 变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n} }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x^{\ast }\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x^{\ast }\left ( n \right )z^{-n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x^{\ast }\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\left [ \sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\left ( z^{\ast } \right )^{-n} \right ]^{\ast }\mathrm{\,=\,}\left [ X\left ( z^{\ast } \right ) \right ]^{\ast }}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x^{\ast }\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X^{\ast }\left ( z^{\ast } \right )}}$$

这也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{x^{\ast }\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( z^{\ast } \right )}}$$

因此，这证明了 Z 变换的共轭性质。

Z 变换的累加性质

说明 – Z 变换的累加性质指出，如果

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right )}}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n}x\left ( p \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )X\left ( z \right )}}$$

证明

根据 Z 变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n} }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left [ \sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n }x\left ( p \right ) \right ]z^{-n} }}$$

将 $\mathrm{\mathit{\left ( n-p \right )\mathrm{\,=\,}m\:\: \mathrm{或}\: \: n\mathrm{\,=\,}\left ( p\mathrm{\,+\,}m \right )\: \: \mathrm{或}\: \: p\mathrm{\,=\,}\left ( n-m \right )}}$ 代入上述方程的右边，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty-m }^{p\mathrm{\,=\,}\infty-m }\left [ \sum_{m\mathrm{\,=\,}n-\left ( -\infty \right ) }^{m\mathrm{\,=\,}n-n }x\left ( p \right ) \right ]z^{-\left ( p\mathrm{\,+\,}m \right )}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty}\sum_{m\mathrm{\,=\,}\infty }^{\mathrm{0}}x\left ( p \right )z^{-p}z^{-m}}}$$

通过交换求和顺序，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{m\mathrm{\,=\,}\mathrm{0} }^{\infty}z^{-m}\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( p \right )z^{-p}\mathrm{\,=\,}\left (\sum_{m\mathrm{\,=\,}\mathrm{0} }^{\infty}z^{-m} \right )X\left ( z \right ) }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-z^{\mathrm{-1}}} \right )X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )X\left ( z \right )}}$$

此外，它也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )X\left ( z \right )}}$$

因此，这证明了 Z 变换的累加性质。

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月21日

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