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法律学Z 变换的时间反转特性
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
Z 变换的时间反转特性
说明 – Z 变换的时间反转特性指出，时域中序列的反转或反射对应于 z 域中的反转。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right );\: \:}\mathrm{ROC}\mathrm{\, =\, }\mathit{R}}$$
那么，
$$\mathrm{\mathit{x\left ( -n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( \frac{\mathrm{1}}{z} \right )\mathrm{\, =\, }X\left ( z^{\mathrm{-1}} \right );\: \:}\mathrm{ROC}\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathit{R}}}$$
证明
根据 Z 变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
现在，通过反转时域中的序列，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( -n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( -n \right )z^{-n}}}$$
在上述求和中用 $\mathrm{\mathit{-n\mathrm{\, =\, }m}}$ 替换，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( -n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{m\mathrm{\, =\, }\infty }^{-\infty }x\left ( m \right )z^{m}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x\left ( -n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{-\infty }x\left ( m \right )\left ( z^{\mathrm{-1}} \right )^{m}\mathrm{\, =\, }X\left ( z^{\mathrm{-1}} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x\left ( -n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( Z^{\mathrm{-1}} \right )\mathrm{\, =\, }Z\left ( \frac{\mathrm{1}}{z} \right )}}$$
或者也可以表示为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( -n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( \frac{\mathrm{1}}{z} \right )\mathrm{\, =\, }X\left ( z^{\mathrm{-1}} \right );\; \; \mathrm{ROC}\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{R} }}$$
数值示例
使用 Z 变换的时间反转特性，求以下序列的 Z 变换：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( -n \right )}}$$
解答
给定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( -n \right )}}$$
由于单位阶跃序列的 Z 变换由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{z}{z-\mathrm{1}};\; \; \mathrm{ROC}\to \left|z \right|> \mathrm{1}}}$$
现在，使用 Z 变换的时间反转特性 [$\mathrm{\mathit{\mathrm{i.e}.,\, x\left ( -n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( \frac{\mathrm{1}}{z} \right )}}$]，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( -n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\left [ \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right ]_{z\mathrm{\, =\, }\left ( \mathrm{1}/z \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ u\left ( -n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}/z}{\left ( \mathrm{1}/z \right )-\mathrm{1}}\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{-1}}{z-\mathrm{1}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore u\left ( -n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{-1}}{z-\mathrm{1}};\: \: \: \mathrm{ROC}\to \left|z \right|<\mathrm{1}}} $$
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