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法律研究信号与系统 – 使用长除法求反Z变换
反Z变换
反Z变换定义为从其Z变换$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$找到时域信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$的过程。反Z变换表示为
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{\mathrm{-1}} [\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}]$$
使用长除法计算反Z变换
如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是双边序列，则其Z变换定义为，
$$\mathit{X}\mathrm{(z)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}$$
其中，Z变换$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$既有z的正幂也有z的负幂。使用长除法，无法得到双边序列。因此，如果序列$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是因果序列，则
$$\mathit{X}\mathrm{(z)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(1)}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathit{x}\mathrm{(2)}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathit{x}\mathrm{(3)}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}+\dotso$$
即，$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$只有z的负幂，其收敛域为$|\mathit{z}|>\:\mathit{a}$。
并且，如果序列$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是反因果序列，则
$$\mathit{X}\mathrm{(z)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{0}\mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}\:\mathrm{=}\:\dotso\:+\mathit{x}\mathrm{(-3)}\mathit{z}^{\mathrm{3}}+\mathit{x}\mathrm{(-2)}\mathit{z}^{\mathrm{2}}+\mathit{x}\mathrm{(-1)}\mathit{z}+\mathit{x}\mathrm{(0)}$$
也就是说，对于反因果序列，$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$只有z的正幂，其收敛域为$|\mathit{z}|<\mathit{a}$。
由于确定$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$的反Z变换只是确定序列$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$，即，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是因果的，则$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{0})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{1})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{2})}$，... 或者如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是反因果的，则$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{0})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{-1})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{-2})}$，...
此外，Z变换$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$是$\mathit{z}$的两个多项式的比率，由下式给出：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{N}\mathrm{(\mathit{z})}}{\mathit{D}\mathrm{(\mathit{z})}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{b}_\mathrm{0}\mathit{z}^{m}+\mathit{b}_\mathrm{1}\mathit{z}^{m-1}+\mathit{b}_\mathrm{2}\mathit{z}^{m-2}+\mathit{b}_\mathrm{3}\mathit{z}^{m-3}+\dotso+\mathit{b}_\mathit{m}}{\mathit{z}^{n}+\mathit{a}_\mathrm{1}\mathit{z}^{n-1}+\mathit{a}_\mathrm{2}\mathit{z}^{n-2}+\mathit{a}_\mathrm{3}\mathit{z}^{n-3}+\dotso+\mathit{a}^n}$$
因此，通过将$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$的分子除以其分母，我们可以得到一个关于z的级数。
如果Z变换$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$对于$|\mathit{z}|>\mathit{a}$收敛，则得到的级数由下式给出：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(1)}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathit{x}\mathrm{(2)}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathit{x}\mathrm{(3)} \mathit{z}^{\mathrm{-3}}+\dotso$$
使用此级数，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是因果序列，则可以识别$\mathit{Z}^\mathit{-n}$的系数。
类似地，如果$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$对于$|\mathit{z}|<\:\mathit{a}$收敛，则得到的级数由下式给出：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(-1)}\mathit{z}^{\mathrm{1}}+\mathit{x}\mathrm{(-2)}\mathit{z}^{\mathrm{2}}+\mathit{x}\mathrm{(-3)}\mathit{z}^{\mathrm{3}}+\dotso$$
使用此级数，我们可以识别$\mathit{Z}^\mathit{-n}$的系数作为反因果序列的$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$。
数值例子
求以下表达式的反Z变换
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}^\mathrm{3}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mathit{z}+\mathrm{4}-\mathrm{2}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathrm{4}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}$$
解答
给定的Z变换为：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}^\mathrm{3}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mathit{z}+\mathrm{4}-\mathrm{2}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathrm{4}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}$$
Z变换定义为：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{\mathit{-n}}$$ $$\Rightarrow\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\dotsm\mathit{x}\mathrm{(-3)}\mathit{z}^{\mathrm{3}}+\mathit{x}\mathrm{(-2)}\mathit{z}^{\mathrm{2}}+\mathit{x}\mathrm{(-1)}\mathit{z}+\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(1)}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathit{x}\mathrm{(2)}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathit{x}\mathrm{(3)}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}\dotsm$$
将此$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$级数与问题中给定的$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$级数进行比较，得到：
$$\mathit{x}\mathrm{(-3)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{1},\mathit{x}\mathrm{(-2)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3},\mathit{x}\mathrm{(-1)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{-2},\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{4},\mathit{x}\mathrm{(1)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{-2},\mathit{x}\mathrm{(2)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{4},\mathit{x}\mathrm{(3)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3},$$ $$\therefore\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}\:\mathrm{=}\:\begin{Bmatrix}1,3,-2,4,-2,4,3 \ \uparrow\end{Bmatrix}$$
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