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法律研究信号与系统 – 使用长除法求反Z变换
反Z变换
反Z变换定义为从其Z变换X(z)找到时域信号x(n)的过程。反Z变换表示为
x(n)=Z−1[X(z)]
使用长除法计算反Z变换
如果x(n)是双边序列，则其Z变换定义为，
X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
其中，Z变换X(z)既有z的正幂也有z的负幂。使用长除法，无法得到双边序列。因此，如果序列x(n)是因果序列，则
X(z)=∞∑n=0x(n)z−n=x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+x(3)z−3+…
即，X(z)只有z的负幂，其收敛域为|z|>a。
并且，如果序列x(n)是反因果序列，则
X(z)=0∑n=−∞x(n)z−n=…+x(−3)z3+x(−2)z2+x(−1)z+x(0)
也就是说，对于反因果序列，X(z)只有z的正幂，其收敛域为|z|<a。
由于确定X(z)的反Z变换只是确定序列x(n)，即，如果x(n)是因果的，则x(0)，x(1)，x(2)，... 或者如果x(n)是反因果的，则x(0)，x(−1)，x(−2)，...
此外，Z变换X(z)是z的两个多项式的比率，由下式给出：
X(z)=N(z)D(z)=b0zm+b1zm−1+b2zm−2+b3zm−3+…+bmzn+a1zn−1+a2zn−2+a3zn−3+…+an
因此，通过将X(z)的分子除以其分母，我们可以得到一个关于z的级数。
如果Z变换X(z)对于|z|>a收敛，则得到的级数由下式给出：
X(z)=x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+x(3)z−3+…
使用此级数，如果x(n)是因果序列，则可以识别Z−n的系数。
类似地，如果X(z)对于|z|<a收敛，则得到的级数由下式给出：
X(z)=x(0)+x(−1)z1+x(−2)z2+x(−3)z3+…
使用此级数，我们可以识别Z−n的系数作为反因果序列的x(n)。
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数值例子
求以下表达式的反Z变换
X(z)=z3+3z2−2z+4−2z−1+4z−2+3z−3
解答
给定的Z变换为：
X(z)=z3+3z2−2z+4−2z−1+4z−2+3z−3
Z变换定义为：
X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n ⇒X(z)=⋯x(−3)z3+x(−2)z2+x(−1)z+x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+x(3)z−3⋯
将此X(z)级数与问题中给定的X(z)级数进行比较，得到：
x(−3)=1,x(−2)=3,x(−1)=−2,x(0)=4,x(1)=−2,x(2)=4,x(3)=3, ∴x(n)={1,3,−2,4,−2,4,3 ↑}
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