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法学卷积法求逆Z变换
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果x(n)是离散时间函数，则其Z变换定义为：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
用卷积法求逆Z变换
可以使用卷积定理计算逆Z变换。在卷积积分法中，给定的Z变换X(z)首先被分解为X1(z)和X2(z)，使得X(z)=X1(z)X2(z)。
然后分别求X1(z)和X2(z)的逆Z变换得到信号x1(n)和x2(n)。最后，通过对时域中的x1(n)和x2(n)进行卷积运算，得到函数x(n)。
根据两个信号卷积的Z变换定义，我们有：
Z[x1(n)∗x2(n)]=X1(z)X2(z)=X(z)
因此，逆Z变换可表示为：
x(n)=Z−1[X(z)]=Z−1[Z{x1(n)∗x2(n)}]
∴Z−1[X(z)]=x(n)=x1(n)∗x2(n)=n∑k=0x1(k)x2(n−k)
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数值例子
使用卷积法，求以下Z变换的逆变换：
X(z)=z2(z−3)(z−4)
解答
给定的Z变换函数为：
X(z)=z2(z−3)(z−4)
令：
X(z)=X1(z)X2(z)=z(z−3)z(z−4)
分别对X1(z)和X2(z)求逆Z变换：
Z−1[X1(z)]=x1(n)=Z−1[z(z−3)]=3nu(n)
类似地
Z−1[X2(z)]=x2(n)=Z−1[z(z−4)]=4nu(n)
现在，使用卷积法求逆Z变换，我们有：
Z−1[X(z)]=x(n)=x1(n)∗x2(n)=n∑k=0x1(k)x2(n−k)
∴x(n)=n∑k=03ku(k)4n−ku(n−k)=n∑k=03ku(k)(4n4k)u(n−k)
⇒x(n)=4nn∑k=0(3k4k)=4nn∑k=0(34)k
⇒x(n)=4n[1−(34)n+11−(34)]=4n+1[1−(34)n+1]
∴x(n)=4n+1u(n)−3n+1u(n)
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