什么是Z变换？

什么是Z变换？

Z变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。

Z变换是分析线性移不变(LSI) 系统的非常有用的工具。LSI离散时间系统由差分方程表示。为了求解这些时域中的差分方程，首先使用Z变换将其转换为z域中的代数方程，然后在z域中操作代数方程，最后使用逆Z变换将获得的结果转换回时域。

Z变换可以分为两种类型：**单边(或单侧)**和**双边(或双侧)**。

数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一个离散时间信号或序列，则其双边或双侧Z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]=X\left ( z \right )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

其中，z是一个复变量，由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\,}r\, e^{j\, \omega }}}$$

其中，r是圆的半径。

此外，单边或单侧z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

单边或单侧z变换非常有用，因为我们主要处理因果序列。此外，它主要适用于求解具有初始条件的差分方程。

Z变换的收敛域 (ROC)

在z平面上，使离散时间序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$收敛的点集称为Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$的收敛域(ROC)。

对于任何给定的离散时间序列，Z变换可能收敛也可能不收敛。如果在z平面上没有一点使函数$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$收敛，则称该序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$没有z变换。

Z变换的优点和缺点

以下是Z变换的**优点**：

• Z变换通过将描述系统的差分方程转换为简单的线性代数方程，使离散时间系统的分析更容易。

• 时域中的卷积运算转换为z域中的乘法运算。

• 对于离散时间傅里叶变换(DTFT)不存在的信号，Z变换存在。

**局限性**——Z变换的主要局限性在于，使用Z变换无法获得频域响应，也无法绘制频域响应图。

数值示例

求解下列序列的Z变换：

$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right )}}$$

解答

给定的离散时间序列是：

$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right )}}$$

根据Z变换的定义，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ y\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right ) \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left [ x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right ) \right ]z^{-n}\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )z^{-n}}}$$

令(𝑛 + 3) = 𝑚，则𝑛 = (𝑚 − 3)，

$$\mathrm{\mathit{\therefore Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{m\mathrm{\, =\,}\mathrm{3}}^{\infty }x\left ( m \right )z^{-\left ( m-\mathrm{3} \right )}\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{3}}\left [ \sum_{m\mathrm{\, =\,}\mathrm{3}}^{\infty }x\left ( m \right )z^{-m} \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{3}}\left [ \sum_{m\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( m \right )z^{-m}-x\left ( \mathrm{0} \right )-x\left ( \mathrm{1} \right )z^{\mathrm{-1}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{3}}X\left ( z \right )-z^{\mathrm{3}}x\left ( \mathrm{0} \right )-z\, x\left ( \mathrm{1} \right )}}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2023年9月14日

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