拉普拉斯变换的终值定理

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt}\:\:\:..(1)$$

公式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt}\:\:\:..(2)$$

终值定理

拉普拉斯变换的终值定理使我们能够直接从其拉普拉斯变换 X(s) 中找到函数 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的最终值 [即，$\mathit{x}\mathrm{(\infty)}$]，而无需求 X(s) 的逆拉普拉斯变换。

定理

拉普拉斯变换的**终值定理**指出，如果

$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

那么，

$$\lim_{t \rightarrow \infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$

证明

根据单边拉普拉斯变换的定义，我们有：

$$\mathit{L}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}$$

对等式两边关于时间求导，我们得到：

$$\mathit{L}[\frac{\mathit{dx\mathrm{(t)}}}{\mathit{dt}}]\:\mathrm{=}\:\int_{0}^{\infty}\frac{\mathit{dx\mathrm{(t)}}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}$$

现在，根据拉普拉斯变换的时间微分性质 $[i.e..,\:\mathrm{\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}\:-\:\mathit{x}\mathrm{(0^{-})}]$，我们有：

$$\mathit{L}\mathrm{[\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}]}\:\mathrm{=}\:\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^{-})}$$

在上述表达式的两边取 $\lim_{s \rightarrow 0}$，我们得到：

$$\lim_{s \rightarrow 0}[\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}]\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}[\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}]$$ $$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}[\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}]$$ $$\Rightarrow[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]_0^\infty\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}[\mathit{sX}\mathrm{(s)}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}]$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}[\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}}]$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$

因此，我们有：

$$\lim_{t \rightarrow \infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$

注意 − 为了应用拉普拉斯变换的终值定理，必须消除 sX(s) 分子和分母中任何公共因子。如果在消除公共因子后，sX(s) 的任何极点位于 s 平面的右半部分，则终值定理不成立。

数值例子

首先确定 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$，然后验证函数 $\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\;\mathrm{1}/\mathrm{(\mathit{s}+3)}$ 的终值定理。

解答

给定函数为：

$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\;\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}$$

取逆拉普拉斯变换，我们有：

$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{L^{-\mathrm{1}}}[\mathit{X}\mathrm{(s)}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L}^\mathrm{-1}[\frac{1}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}]$$ $$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{\mathrm{-3}\mathit{t}}$$

因此，给定函数的最终值为：

$$\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:[\mathit{x}\mathrm{(t)}]_{\mathit{t}={\infty}}\:\mathrm{=}[\mathit{e}^{-3t}]_{t=\infty}$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{-\infty}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$

现在，使用终值定理，我们得到：

$$\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(s)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{s}\begin{bmatrix} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+{\mathrm{3}})}} \end{bmatrix}$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow0}\begin{bmatrix}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(1+\frac{3}{\mathit{s}})}} \end{bmatrix}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$

因此，给定函数的终值定理得证。

Manish Kumar Saini

更新于：2022年1月7日

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