单位脉冲、单位阶跃和单位斜坡函数的Z变换

Z变换

Z变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。

数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一个离散时间信号或序列，那么它的双边或双侧Z变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

其中，z 是一个复变量。

此外，单边或单侧z变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

单位脉冲函数的Z变换

单位脉冲序列或单位样本序列定义为 −

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\delta \left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\begin{Bmatrix} \mathrm{1}& \mathrm{for}\: n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}\ \mathrm{0}& \mathrm{for}\: n eq \mathrm{0}\ \end{Bmatrix} }}$$

因此，单位脉冲函数的Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ \delta \left ( n \right ) \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\delta \left ( n \right )z^{-n}\mathrm{\, =\,}\mathrm{1};\; \; }ROC\rightarrow 所有 z，即整个 z 平面}$$

或者也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{\delta \left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\mathrm{1;}\: \: }对于所有 z}$$

单位阶跃函数的Z变换

单位阶跃信号或单位阶跃序列定义为 −

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}u \left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\begin{Bmatrix} \mathrm{1}& \mathrm{for}\: n\geq \mathrm{0}\ \mathrm{0}& \mathrm{for}\: n< \mathrm{0}\ \end{Bmatrix} }}$$

因此，单位阶跃函数的Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ u \left ( n \right ) \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }u \left ( n \right )z^{-n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )\cdot z^{^{-n}}\mathrm{\, =\,}\mathrm{1}\mathrm{\, +\,}z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left ( \mathrm{1}-z^{-\mathrm{1}} \right )}\mathrm{\, =\,}\frac{z}{z-\mathrm{1}}}}$$

上述求和或级数在|𝑧| > 1 时收敛。因此，单位阶跃序列的Z变换的收敛域为|𝑧| > 1。因此，收敛域是z平面上单位圆的外部。

单位阶跃序列的Z变换也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{u\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right );\: \: }\; \; ROC\to \left|z \right|> 1}$$

单位斜坡序列的Z变换

单位斜坡序列定义为 −

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}r \left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\begin{Bmatrix} n& \mathrm{for}\: n\geq \mathrm{0}\ \mathrm{0}& \mathrm{for}\: n< \mathrm{0}\ \end{Bmatrix} }}$$

因此，单位斜坡序列的Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ r \left ( n \right ) \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }r \left ( n \right )z^{-n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }n z^{^{-n}}\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}\mathrm{\, +\,}z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}z^{\mathrm{-3}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{4}z^{\mathrm{-4}}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{-1}}\left ( \mathrm{1}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{4}z^{\mathrm{-3}}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \right ) }}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{-1}}\left ( \mathrm{1}-z^{-\mathrm{1}} \right )^{-\mathrm{2}}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\frac{z^{\mathrm{-1}}}{\left ( \mathrm{1}-z^{-\mathrm{1}} \right )^{\mathrm{2}}}\mathrm{\, =\,}\frac{z}{\left ( z-\mathrm{1} \right )^{\mathrm{2}}}}}$$

此级数在|𝑧⁻¹| < 1 时收敛。因此，收敛域为|𝑧| > 1，即单位斜坡函数的Z变换的收敛域是z平面上单位圆的外部。

Manish Kumar Saini

更新于: 2022年1月19日

22K+ 次查看

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习