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法学离散时间单位脉冲信号的特性
什么是离散时间脉冲序列？
离散时间单位脉冲序列δ[𝑛]，也称为**单位样本序列**，定义为：
$$\mathrm{\delta \left [ n \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 当\: n=0\ 0\; 当 \: n
≠ 0\ \end{matrix}\right.}$$
离散时间单位脉冲序列的特性
比例特性
根据离散时间单位脉冲序列的比例特性：
𝛿[𝑘𝑛] = 𝛿[𝑛]
其中，k为整数。
**证明** − 根据离散时间单位脉冲序列的定义：
$$\mathrm{\delta \left [ n \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 当\: n=0\ 0\; 当 \: n
≠ 0\ \end{matrix}\right.}$$同样，对于比例单位脉冲序列：
$$\mathrm{\delta \left [ kn \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 当\: kn=0\ 0\; 当 \: kn
≠ 0\ \end{matrix}\right.}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \delta \left [ kn \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 当\: n=\frac{0}{k}=0\ 0\; 当 \: n
≠\frac{0}{k}
≠ 0\ \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} 1\; \; 当\: n=0\ 0\; \; 当\: n
≠ 0\ \end{matrix}\right.=\delta \left [ n \right ]}$$乘积特性
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛0]𝛿[𝑛 − 𝑛0]
**证明** − 根据单位脉冲信号的定义，我们知道：
$$\mathrm{\delta \left [ n-n_{0} \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\: \: 当\: n=n_{0}\ 0\: \: 当\: n
≠ n_{0}\ \end{matrix}\right.}$$从表达式可以看出，脉冲序列仅在𝑛 = 𝑛0时具有非零值。因此：
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛0]𝛿[𝑛 − 𝑛0]
移位特性
$$\mathrm{x\left [ n \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$**证明** − 使用离散时间单位脉冲序列的乘积特性，我们有：
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛0]𝛿[𝑛 − 𝑛0] … (1)
在等式(1)中用k代替𝑛0，我们得到：
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑘] = 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘]
$$\mathrm{\Rightarrow \sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ n \right ]\delta \left [ n-k \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow x\left [ n \right ]\sum_{k=-\infty }^{\infty }\delta \left [ n-k \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$ $$\mathrm{\because \sum_{k=-\infty }^{\infty }\delta \left [ n-k \right ]=1}$$ $$\mathrm{\therefore x\left [ n \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$离散时间单位脉冲序列是离散时间单位阶跃序列的一阶差分。也就是说：
𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1]
**证明** − 根据离散时间单位阶跃序列的定义：
$$\mathrm{u\left [ n \right ]=\sum_{k=0}^{\infty }\delta \left [ n-k \right ] =\delta \left [ n \right ]+\sum_{k=1}^{\infty }\delta \left [ n-k \right ] }$$ $$\mathrm{\because u\left [ n-1 \right ]=\sum_{k=1}^{\infty }\delta \left [ n-k \right ]}$$∴ 𝑢[𝑛] = 𝛿[𝑛] + 𝑢[𝑛 − 1]
⟹ 𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1]
更新于：2021年11月12日
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