单位冲激信号– 定义、波形和属性

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理想的冲激信号是一种信号，它在原点 (t = 0) 之外全部为零，它无限高。但是，冲激面积是有限的。单位冲激信号是分析信号和系统时使用最广泛的标准信号。

连续时间单位冲激信号

连续时间单位冲激信号记为 δ(t)，定义为 −

$$\mathrm{\delta (t)=\left\{\begin{matrix} 1\; \; for\: t=0\ 0\; \; for\:t eq 0 \ \end{matrix}\right.}$$

因此，根据定义，单位冲激信号在 t = 0 以外的任何地方幅度均为零。在原点 (t = 0) 冲激信号的幅度无穷大，因此曲线下面积为一。连续时间冲激信号也称为狄拉克δ函数。

图 1 显示了连续时间单位冲激信号 δ(t) 的图形表示。

另外，如果单位脉冲信号以脉冲的形式假设，则关于单位脉冲信号可以观察到以下几点−

• 脉冲的宽度为零，这意味着脉冲仅存在于原点 (t = 0)。

• 脉冲的高度为无限大。

• 曲线下的面积为一。

• 箭头的长度表示脉冲曲线下的总面积。

连续时间单位脉冲信号的特性

连续时间单位脉冲信号的特性如下所示 −

• 连续时间单位脉冲信号是一个偶信号。这意味着它是时间的偶函数 (t)，即 δ(t) = δ(-t)。

• 采样特性：$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t)dt=x(0)}$

• 平移特性：$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-t_{0})dt=x(t_{0})}$

• 缩放特性：$\mathrm{\delta(at)=\frac{1}{\left | a \right |}\delta (t) }$

• 乘法特性：𝑥(𝑡)𝛿(𝑡) = 𝑥(0)𝛿(𝑡) = 𝑥(0); 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡₀) = 𝑥(𝑡₀)𝛿(𝑡 − 𝑡₀)

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离散时间单位脉冲信号

离散时间单位脉冲信号用 δ(n) 表示，定义为 −

$$\mathrm{\delta(n)=\left\{\begin{matrix} 1\; for\: n=0\ 0\; for\: n eq 0\ \end{matrix}\right. }$$

离散时间信号也称为单位采样序列。离散时间信号或单位采样序列的图形表示如图 2 所示。

离散时间单位脉冲信号的特性

离散时间单位脉冲信号的特性如下 −

• $\mathrm{\delta (n)=u(n)-u(n-1)}$

• $\mathrm{\delta (n-k)=\left\{\begin{matrix} 1\; \; for\; n=k\ 0\; \; for\; n eq k\ \end{matrix}\right.}$

• $\mathrm{x(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)\delta (n-k)}$

• $\mathrm{\sum_{n=-\infty }^{\infty }x(n)\delta (n-n_{0})=x(n_{0})}$

单位脉冲信号与单位阶跃信号之间的关系

单位脉冲信号的时域积分是单位阶跃信号。换句话说，单位阶跃信号的时域导数是单位脉冲信号，即

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\: dt=u(t)}$$

及

$$\mathrm{\delta (t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}u(t)}$$