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法律研究离散时间系统的BIBO稳定性
稳定性和因果性
因果线性时不变 (LTI) 离散时间系统满足BIBO稳定的充分必要条件为：
∞∑n=0|h(n)|<∞
因此，如果LTI离散时间系统的冲激响应绝对可和，则该系统是BIBO稳定的。
此外，*为了使系统具有因果性*，系统的冲激响应必须在𝑛 < 0时等于零，即：
h(n)=0;forn<0
*换句话说*，如果给定的LTI离散时间系统是因果的，则H(z)的收敛域(ROC)将位于最外极点之外。
因此，对于因果LTI离散时间系统，H(z)的所有极点都必须位于z平面的单位圆内，即系统的传递函数的收敛域必须包含单位圆。
LTI离散时间系统稳定性的时域条件
对于一个系统，当有界输入序列总是产生有界输出序列时，则称该系统为*稳定系统*。另一方面，如果对于有界序列，输出序列是无界的，则称该系统为*不稳定系统*。
现在，考虑x(n)是一个有界输入序列，满足|x(n)|≤Mx≤∞，h(n)是系统的冲激响应，则系统的输出y(n)可以使用卷积和确定，即：
y(n)=∞∑k=−∞x(k)h(n−k)=∞∑k=−∞h(k)x(n−k)
输出序列的幅值由下式给出：
|y(n)|=|∞∑k=−∞h(k)x(n−k)|=∞∑k=−∞|h(k)x(n−k)|
由于项的和的幅值小于或等于幅值的和，即：
|y(n)|=|∞∑k=−∞h(k)x(n−k)|≤∞∑k=−∞|h(k)||x(n−k)|
现在，考虑输入的有界值为M，则上述表达式变为：
|y(n)|≤M∞∑k=−∞|h(k)|
为了使系统稳定，
|y(n)|<∞
此条件将在以下情况下满足：
∞∑k=−∞|h(k)|<∞
即，如果LTI系统的冲激响应绝对可和，则该系统是BIBO稳定的。这是LTI离散时间系统稳定性的充分必要时域条件。
解释——对于稳定系统，系统传递函数的收敛域包含单位圆：
由于因果LTI离散时间系统满足BIBO稳定的充分必要条件是
∞∑n=0|h(n)|<∞
并且因果LTI离散时间系统的系统传递函数由下式给出：
H(z)=∞∑n=0h(n)z−n
传递函数的幅值由下式给出：
|H(z)|=∞∑n=0|h(n)z−n|
⇒|H(z)|≤∞∑n=0|h(n)||z−n|
因此，在单位圆（对于单位圆|𝑧| = 1）上对传递函数|H(z)|的幅值进行评估，结果为：
|H(z)|≤∞∑n=0|h(n)|<∞
因此，这表明对于稳定系统，系统传递函数的收敛域包含单位圆。
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