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法律研究离散时间系统的BIBO稳定性
稳定性和因果性
因果线性时不变 (LTI) 离散时间系统满足BIBO稳定的充分必要条件为：
$$\mathrm{\mathit{\sum_{n=\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right ) \right|< \infty }}$$
因此，如果LTI离散时间系统的冲激响应绝对可和，则该系统是BIBO稳定的。
此外，*为了使系统具有因果性*，系统的冲激响应必须在𝑛 < 0时等于零，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( n \right )=\mathrm{0};\; \; \mathrm{for}\: n< \mathrm{0}}}$$
*换句话说*，如果给定的LTI离散时间系统是因果的，则H(z)的收敛域(ROC)将位于最外极点之外。
因此，对于因果LTI离散时间系统，H(z)的所有极点都必须位于z平面的单位圆内，即系统的传递函数的收敛域必须包含单位圆。
LTI离散时间系统稳定性的时域条件
对于一个系统，当有界输入序列总是产生有界输出序列时，则称该系统为*稳定系统*。另一方面，如果对于有界序列，输出序列是无界的，则称该系统为*不稳定系统*。
现在，考虑$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一个有界输入序列，满足$\mathrm{\mathit{\left|x\left ( n \right ) \right|\leq M_{x}\leq \infty }}$，$\mathrm{\mathit{h\left ( n \right )}}$是系统的冲激响应，则系统的输出y(n)可以使用卷积和确定，即：
$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( k \right )h\left ( n-k \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }h\left ( k \right )x\left ( n-k \right )}}$$
输出序列的幅值由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\left|\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }h\left ( k \right )x\left ( n-k \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right )x\left ( n-k \right ) \right|}}$$
由于项的和的幅值小于或等于幅值的和，即：
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\left|\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }h\left ( k \right )x\left ( n-k \right ) \right|\leq \sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right )\right|\left|x\left ( n-k \right ) \right|}}$$
现在，考虑输入的有界值为M，则上述表达式变为：
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|\leq M\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right ) \right|}}$$
为了使系统稳定，
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|< \infty }}$$
此条件将在以下情况下满足：
$$\mathrm{\mathit{\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right ) \right|< \infty }}$$
即，如果LTI系统的冲激响应绝对可和，则该系统是BIBO稳定的。这是LTI离散时间系统稳定性的充分必要时域条件。
解释——对于稳定系统，系统传递函数的收敛域包含单位圆：
由于因果LTI离散时间系统满足BIBO稳定的充分必要条件是
$$\mathrm{\mathit{\sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0} }^{\infty }\left|h\left ( n \right ) \right|< \infty }}$$
并且因果LTI离散时间系统的系统传递函数由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }h\left ( n \right )z^{-n}}}$$
传递函数的幅值由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( z \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right )z^{-n}\right|}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \left|H\left ( z \right ) \right|\leq \sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right ) \right|\left|z^{-n}\right|}}$$
因此，在单位圆（对于单位圆|𝑧| = 1）上对传递函数$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( z \right ) \right|}}$的幅值进行评估，结果为：
$$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( z \right ) \right|\leq \sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right )\right|< \infty }}$$
因此，这表明对于稳定系统，系统传递函数的收敛域包含单位圆。
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