信号与系统：BIBO稳定性判据

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有界信号

幅度为有限值的信号称为有界信号。正弦波就是一个有界信号的例子。

BIBO稳定系统

如果且仅当系统的所有有界输入都产生有界输出时，该系统称为BIBO稳定（或有界输入、有界输出稳定）系统。

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BIBO稳定性判据

为了使系统BIBO稳定，其必要条件由以下表达式给出：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\left | h(t) \right |dt < \infty \; \;}\;\;...(1)$$

其中，h(t)是系统的冲激响应。表达式(1)中给出的条件称为**BIBO稳定性判据**。

证明

考虑一个具有输入x(t)和输出y(t)的LTI（线性时不变）系统。因此，系统的输入和输出通过卷积积分相关，即

$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )h\left ( t-\tau \right )d\tau \: \: } \;\;...(2)$$

在两边取模（即绝对值），得到：

$$\mathrm{\left | y(t) \right |=\left | \int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )h\left ( t-\tau \right )d\tau \right | \: \: }\;\; ...(3)$$

根据三角不等式，两个项的乘积的积分的绝对值始终小于或等于其绝对值的积分。因此，利用这一事实，我们得到：

$$\mathrm{\left | \int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )\; h\left ( t-\tau \right )d\tau \right |\leq\int_{-\infty }^{\infty }\left |x(\tau )\right |\;\left | h\left ( t-\tau \right ) \right |d\tau }$$

现在，如果系统的输入x(τ)是有界的（或有限的），即

$$\mathrm{\left | x(\tau ) \right |\leq K_{x}<\infty }$$

其中，𝐾_𝑥 是一个实正整数。

那么，

$$\mathrm{\left | \int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )\; h\left ( t-\tau \right )d\tau \right |\leq\: K_{x}\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( t-\tau \right ) \right |d\tau }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \left | y(t) \right |\leq\: K_{x}\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( t-\tau \right ) \right |d\tau }$$

用𝑢 = (𝑡 − 𝜏); 𝑑𝜏 = 𝑑𝑢替换变量。然后，如果满足以下条件，则系统的输出是有界的（即𝑦(𝑡) < ∞）

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( u \right ) \right |du<\infty}$$

用t替换u，得到：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( t \right ) \right |dt<\infty}$$

这是系统BIBO稳定的充要条件。