离散时间系统的频率响应是什么？

离散时间系统的频率响应

将一系列输入正弦波应用于线性时不变离散时间系统以获得系统的频率响应。离散时间系统的频率响应给出了系统对所有频率下输入正弦波的幅度和相位响应。

现在，设线性时不变离散时间系统的冲激响应为$\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$，系统的输入为复指数函数，即$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathit{j\omega n}}}$。则系统的输出$\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 通过卷积定理获得，即

$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty} }^{\infty}\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$

由于系统的输入为$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathit{j\omega n}}}$，则

$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{k=-\infty} }^{\infty}\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{e^{\mathit{j\omega \mathrm{\left ( \mathit{n-k}\right )}}}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\omega n}}\sum_{\mathit{k=-\infty} }^{\infty}\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{e^{\mathit{-j\omega k}}}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\omega n }}\cdot \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$

其中

• $\mathit{e^{j\omega n }}$ 是输入序列，并且

• $\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 是离散时间系统的频率响应。

因此，离散时间系统的输出与输入相同，只是幅度和相位由$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 修改。离散时间系统的频率响应$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 是一个复数，可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|\mathit{e^{j\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}}}$$

其中

• $\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|$ 称为离散时间系统的 *幅度响应*，并且

• $\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 称为系统的 *相位响应*。

此外，$\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|$ 与 $\omega$ 的关系图称为 *幅度响应图*，$\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 与 $\omega$ 的关系图称为 *相位响应图*。

离散时间系统频率响应的特性

如果线性时不变离散时间系统的冲激响应$\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个实数序列，则频率响应$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 具有以下特性：

• 频率响应$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 对所有$\omega$ 都取值。

• 频率响应$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 关于$\omega$ 是周期性的，周期为 2$\pi$。

• $\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|$，即系统的幅度响应，是$\omega$ 的偶函数，关于$\pi$ 对称。

• $\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$，即系统的相位响应，是$\omega$ 的奇函数，关于$\pi$ 反对称。

数值示例

求下列离散时间因果系统的频率响应。

$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-2\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{2}{9}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{5}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}$$

解答

如果 X(ω) 和 Y(ω) 分别是输入和输出序列的傅里叶变换，则离散时间系统的频率响应由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}}$$

现在，描述系统的方程为

$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-2\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{2}{9}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{5}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}$$

对等式两边进行离散时间傅里叶变换，得到：

$$\mathrm{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}-2\mathit{e^{-j\omega }}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{2}{9}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega }}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}-\:\frac{3}{5}\mathit{e^{-j\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathrm{\left ( 1-2\mathit{e^{-j\omega }} +\frac{2}{9}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega }}\right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{5}\mathit{e^{-j\omega }} \right )}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{5}\mathit{e^{-j\omega }} \right )}}{\mathrm{\left ( 1-2\mathit{e^{-j\omega }} +\frac{2}{9}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega }}\right )}}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\: \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}\:\mathrm{=}\:\frac{^{\mathit{e}^\mathit{j\omega} }\mathrm{\left ( \mathit{e^{j\omega }-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}} \right )}}{\mathrm{\left ( \mathit{e^{j\mathrm{2}\omega }-\mathrm{2}\mathit{e^{j\omega }}\mathrm{+}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}} \right )}}}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月31日

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