信号的自相关函数

自相关函数

自相关函数定义了信号与其时间延迟版本的相似性或一致性的度量。实能量信号 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的自相关函数由下式给出：

$$\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}\:\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}$$

能量谱密度 (ESD) 函数

信号在频域中的能量分布称为能量谱密度。信号的 ESD 函数由下式给出：

$$\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}\: \mathrm{=}\: \mathrm{|\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})}|}^\mathrm{2} \:\mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})} \mathit{X}\mathrm{(\mathit{-\omega})}$$

自相关定理

陈述 - 自相关定理指出，能量信号 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的自相关函数 $\mathit{R}\mathrm{(\mathrm{\tau})}$ 和能量谱密度 (ESD) 函数 $\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$ 构成傅里叶变换对，即：

$$\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{\leftrightarrow} \:\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$

换句话说，自相关定理指出，自相关函数 $\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}$ 的傅里叶变换得到能量信号 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的能量密度函数，即：

$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}]}\: \mathrm{=}\: \mathrm{\lvert}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})\mathrm{\lvert}}^\mathrm{2} \:\mathrm{=}\: \mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]} \:\mathrm{=} \:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-j\omega t}}\:\mathit{dt}$$

因此，自相关函数 $\mathrm{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}$ 的傅里叶变换由下式给出：

$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R\mathrm{(\mathit{\tau})}}]} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty} \mathit{R}\mathrm{(\tau)}\mathit{e^{-j\omega\tau}} \:\mathit{d\tau}$$

实能量信号 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的自相关函数定义为：

$$\mathit{R}\mathrm{(\tau)} \:\mathrm{=} \:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\mathit\tau)}]}\: \mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{[\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\:\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}]}\mathit{e^{-j\omega\tau}}\mathit{d\tau}$$

通过重新排列积分顺序，我们得到：

$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm(\mathit{\tau})]} \:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-j\omega\tau}}\:\mathit{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{e^{j\omega(t-\tau)}}\:\mathit{d\tau}$$ $$\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}]}\: \mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{e^{j\omega(t-\tau)}}\:\mathit{d\tau}$$

通过在上述积分中用 $\mathrm{(t-\tau)}\:\mathrm{=}\:\mathit{p}$ 和 $\mathrm{d\tau}\:\mathrm{=}\:\mathit{dp}$ 替换，我们得到：

$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm(\mathit{\tau})]} \:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\omega)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(p)}\mathit{e^{j\omega p}}\:\mathit{dp} \:\mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{(\omega)}\mathit{X}\mathrm{(-\omega)}$$ $$\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\tau)}]}\:\mathrm{=}\:|\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})}|^\mathrm{2}\:\mathrm{=}\:\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$

此外，

$$\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\leftrightarrow\:\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$

因此，这证明了自相关定理。

Manish Kumar Saini

更新于： 2022年1月7日

1K+ 次浏览

开启您的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习