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法律研究无限时间内功率信号的能量
什么是功率信号？
如果信号的平均功率 (P) 是有限的，即 0 < 𝑃 < ∞，则该信号被称为功率信号。功率信号在无限时间内的总能量是无限的，即 𝐸 = ∞。周期信号是功率信号的例子。
功率信号的能量
考虑一个连续时间功率信号 x(t)。信号 x(t) 的功率是有限的，由下式给出：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt\; \; ...(1)}$$
因此，信号的能量由下式给出：
$$\mathrm{E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }\left [2T\cdot \frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt \right ]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }2T\left [\lim_{T\rightarrow \infty } \frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt \right ]\; \; ...(2)}$$
使用公式 (1) 和 (2)，我们得到：
$$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }2T\cdot P=\infty}$$
因此，功率信号在无限时间内的能量是无限的。
数值例子
确定信号 𝑥(𝑡) = sin2 𝜔𝑡 是否为功率信号。如果是，则计算信号的功率和能量。
解答
给定信号为：
𝑥(𝑡) = sin2 𝜔𝑡
由于给定信号 x(t) 是一个平方正弦波，它是一个周期信号，因此它可以是功率信号。
信号的平均功率：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }\left [\sin ^{2}\omega t \right ]^{2}dt=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }\sin ^{4}\omega t\; dt}$$
根据标准三角关系的定义，我们得到：
$$\mathrm{\sin ^{4}\omega t=\frac{1}{8}(3-4\cos 2\omega t+\cos 4\omega t)}$$ $$\mathrm{\therefore P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{1}{8}(3-4\cos 2\omega t+\cos 4\omega t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{3}{8}\: dt-\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{4}{8}cos 2\omega t\: dt+\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{1}{8}\cos 4\omega t\: dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left ( \frac{3}{8} \right )\left [ t \right ]_{-T}^{T}-0+0}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left ( \frac{3}{8} \right )\left [ T+T \right ]=\frac{3}{8}}$$
因此，给定信号的功率是有限的，等于 𝑃 = 3⁄8 瓦。
现在，信号的能量：
$$\mathrm{E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T }^{T }\left [\sin ^{2}\omega t \right ]^{2}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T}^{T}\frac{1}{8}(3-4\cos 2\omega t+\cos 4\omega t)dt=\lim_{T\rightarrow \infty }\left ( \frac{3}{8} \right )\left [ t \right ]_{-T}^{T}}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }\left ( \frac{3}{8} \right )\left [2T \right ]=\infty }$$
因此，给定功率信号在无限时间内的能量是无限的。
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