信号的偶分量和奇分量

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偶信号

如果一个信号关于垂直轴或时间原点对称，则称该信号为偶信号，即：

𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡); 对所有𝑡     … 连续时间信号

𝑥(𝑛) = 𝑥(−𝑛); 对所有𝑛     … 离散时间信号

奇信号

如果一个信号关于垂直轴反对称，则称该信号为奇信号，即：

𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡); 对所有𝑡    … 连续时间信号

𝑥(−𝑛) = −𝑥(𝑛); 对所有𝑛     … 离散时间信号

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确定信号的偶分量和奇分量

连续时间情况

并非每个信号都是纯偶信号或纯奇信号，但信号可以表示为偶分量和奇分量的和，即：

𝑥(𝑡) = 𝑥_𝑒 (𝑡) + 𝑥_𝑜 (𝑡)     … (1)

其中：

• 𝑥_𝑒 (𝑡) 是信号的偶分量，并且

• 𝑥_𝑜 (𝑡) 是信号的奇分量。

根据偶信号和奇信号的定义，我们有：

𝑥(−𝑡) = 𝑥_𝑒 (−𝑡) + 𝑥_𝑜 (−𝑡)

⟹ 𝑥(−𝑡) = 𝑥_𝑒 (𝑡) − 𝑥_𝑜 (𝑡)     … (2)

将式 (1) 和 (2) 相加，我们得到：

𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡) = 𝑥_𝑒 (𝑡) + 𝑥_𝑜 (𝑡) + 𝑥_𝑒 (𝑡) − 𝑥_𝑜 (𝑡) = 2𝑥_𝑒 (𝑡)

∴ 𝑥_𝑒 (𝑡) =12[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] … (3)

$$\mathrm{\therefore x_{e}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]} \;\;...(3)$$

再次，从式 (1) 中减去式 (2)，我们得到：

𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = [𝑥_𝑒 (𝑡) + 𝑥_𝑜 (𝑡)] − [𝑥_𝑒 (𝑡) − 𝑥_𝑜 (𝑡)]

⟹ 𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = 𝑥_𝑒 (𝑡) + 𝑥_𝑜 (𝑡) − 𝑥_𝑒 (𝑡) + 𝑥_𝑜 (𝑡) = 2𝑥_𝑜 (𝑡)

$$\mathrm{\therefore x_{0}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]}\;\; ...(4)$$

因此，方程 (3) 和 (4) 分别给出了连续时间信号的偶分量和奇分量。

离散时间情况

离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量由下式给出：

$$\mathrm{\therefore x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)+x(-n) \right ]} \;\;...(5)$$

$$\mathrm{\therefore x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)-x(-n) \right ]}\;\;...(6)$$

数值例子 1

求连续时间信号𝑥(𝑡) = 𝑒^𝑗4𝑡的偶分量和奇分量。

解答

给定信号为：

𝑥(𝑡) = 𝑒^𝑗4𝑡

∴ 𝑥(−𝑡) = 𝑒^−𝑗4𝑡

信号的偶分量为：

$$\mathrm{\therefore x_{e}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]=\frac{1}{2}\left ( e^{j4t}+e^{-j4t} \right )=\cos 4t}$$

并且，信号的奇分量为：

$$\mathrm{\therefore x_{0}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]=\frac{1}{2}\left ( e^{j4t}-e^{-j4t} \right )=j\sin4t }$$

数值例子 2

求离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量，其中：

$$\mathrm{x(n)=\begin{Bmatrix} 5,6,3,4,1\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$

解答

给定的离散时间序列为：

$$\mathrm{x(n)=\begin{Bmatrix} 5,6,3,4,1\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$

这里：

𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4

$$\mathrm{\therefore x(-n)=\begin{Bmatrix} 1, 4, 3, 6, 5\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$

因此，该序列的偶分量为：

$$\mathrm{ x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)+x(-n) \right ]=\frac{1}{2}\left [5, 6, 3, 4, 1 + 1, 4, 3, 6, 5 \right ]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [5 + 1, 6 + 4, 3 + 3, 4 + 6, 1 + 5 \right ]=\frac{1}{2}\left [6, 10, 6, 10, 6 \right ]}$$

$$\mathrm{\therefore x_{e}(n)=\begin{Bmatrix} 3, 5, 3, 5, 3\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$

而该序列的奇分量为：

$$\mathrm{ x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)-x(-n) \right ]=\frac{1}{2}\left [5, 6, 3, 4, 1 - 1, 4, 3, 6, 5 \right ]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [5-1,6-4,3-3,4-6,1-5\right ]=\frac{1}{2}\left [4,2,0,-2,-4\right ]}$$

$$\mathrm{\therefore x_{0}(n)=\begin{Bmatrix} 2, 1, 0, -1, -2\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$