信号的偶分量和奇分量
偶信号
如果一个信号关于垂直轴或时间原点对称,则称该信号为偶信号,即:
𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡); 对所有𝑡 … 连续时间信号
𝑥(𝑛) = 𝑥(−𝑛); 对所有𝑛 … 离散时间信号
奇信号
如果一个信号关于垂直轴反对称,则称该信号为奇信号,即:
𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡); 对所有𝑡 … 连续时间信号
𝑥(−𝑛) = −𝑥(𝑛); 对所有𝑛 … 离散时间信号
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确定信号的偶分量和奇分量
连续时间情况
并非每个信号都是纯偶信号或纯奇信号,但信号可以表示为偶分量和奇分量的和,即:
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) … (1)
其中:
𝑥𝑒 (𝑡) 是信号的偶分量,并且
𝑥𝑜 (𝑡) 是信号的奇分量。
根据偶信号和奇信号的定义,我们有:
𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (−𝑡) + 𝑥𝑜 (−𝑡)
⟹ 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) … (2)
将式 (1) 和 (2) 相加,我们得到:
𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) + 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑒 (𝑡)
∴ 𝑥𝑒 (𝑡) =12[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] … (3)
∴xe(t)=12[x(t)+x(−t)]...(3)
再次,从式 (1) 中减去式 (2),我们得到:
𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = [𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡)] − [𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡)]
⟹ 𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) − 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑜 (𝑡)
∴x0(t)=12[x(t)−x(−t)]...(4)
因此,方程 (3) 和 (4) 分别给出了连续时间信号的偶分量和奇分量。
离散时间情况
离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量由下式给出:
∴xe(n)=12[x(n)+x(−n)]...(5)
∴x0(n)=12[x(n)−x(−n)]...(6)
数值例子 1
求连续时间信号𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡的偶分量和奇分量。
解答
给定信号为:
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡
∴ 𝑥(−𝑡) = 𝑒−𝑗4𝑡
信号的偶分量为:
∴xe(t)=12[x(t)+x(−t)]=12(ej4t+e−j4t)=cos4t
并且,信号的奇分量为:
∴x0(t)=12[x(t)−x(−t)]=12(ej4t−e−j4t)=jsin4t
数值例子 2
求离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量,其中:
x(n)={5,6,3,4,1 ↑ }
解答
给定的离散时间序列为:
x(n)={5,6,3,4,1 ↑ }
这里:
𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4
∴x(−n)={1,4,3,6,5 ↑ }
因此,该序列的偶分量为:
xe(n)=12[x(n)+x(−n)]=12[5,6,3,4,1+1,4,3,6,5]
⇒xe(n)=12[5+1,6+4,3+3,4+6,1+5]=12[6,10,6,10,6]
∴xe(n)={3,5,3,5,3 ↑ }
而该序列的奇分量为:
x0(n)=12[x(n)−x(−n)]=12[5,6,3,4,1−1,4,3,6,5]
⇒x0(n)=12[5−1,6−4,3−3,4−6,1−5]=12[4,2,0,−2,−4]
∴x0(n)={2,1,0,−1,−2 ↑ }