数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装学
法学信号的偶分量和奇分量
偶信号
如果一个信号关于垂直轴或时间原点对称，则称该信号为偶信号，即：
𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡); 对所有𝑡 … 连续时间信号
𝑥(𝑛) = 𝑥(−𝑛); 对所有𝑛 … 离散时间信号
奇信号
如果一个信号关于垂直轴反对称，则称该信号为奇信号，即：
𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡); 对所有𝑡 … 连续时间信号
𝑥(−𝑛) = −𝑥(𝑛); 对所有𝑛 … 离散时间信号
确定信号的偶分量和奇分量
连续时间情况
并非每个信号都是纯偶信号或纯奇信号，但信号可以表示为偶分量和奇分量的和，即：
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) … (1)
其中：
𝑥𝑒 (𝑡) 是信号的偶分量，并且
𝑥𝑜 (𝑡) 是信号的奇分量。
根据偶信号和奇信号的定义，我们有：
𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (−𝑡) + 𝑥𝑜 (−𝑡)
⟹ 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) … (2)
将式 (1) 和 (2) 相加，我们得到：
𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) + 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑒 (𝑡)
∴ 𝑥𝑒 (𝑡) =12[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] … (3)
$$\mathrm{\therefore x_{e}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]} \;\;...(3)$$
再次，从式 (1) 中减去式 (2)，我们得到：
𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = [𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡)] − [𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡)]
⟹ 𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) − 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑜 (𝑡)
$$\mathrm{\therefore x_{0}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]}\;\; ...(4)$$
因此，方程 (3) 和 (4) 分别给出了连续时间信号的偶分量和奇分量。
离散时间情况
离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量由下式给出：
$$\mathrm{\therefore x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)+x(-n) \right ]} \;\;...(5)$$
$$\mathrm{\therefore x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)-x(-n) \right ]}\;\;...(6)$$
数值例子 1
求连续时间信号𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡的偶分量和奇分量。
解答
给定信号为：
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡
∴ 𝑥(−𝑡) = 𝑒−𝑗4𝑡
信号的偶分量为：
$$\mathrm{\therefore x_{e}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]=\frac{1}{2}\left ( e^{j4t}+e^{-j4t} \right )=\cos 4t}$$
并且，信号的奇分量为：
$$\mathrm{\therefore x_{0}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]=\frac{1}{2}\left ( e^{j4t}-e^{-j4t} \right )=j\sin4t }$$
数值例子 2
求离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量，其中：
$$\mathrm{x(n)=\begin{Bmatrix} 5,6,3,4,1\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
解答
给定的离散时间序列为：
$$\mathrm{x(n)=\begin{Bmatrix} 5,6,3,4,1\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
这里：
𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4
$$\mathrm{\therefore x(-n)=\begin{Bmatrix} 1, 4, 3, 6, 5\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
因此，该序列的偶分量为：
$$\mathrm{ x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)+x(-n) \right ]=\frac{1}{2}\left [5, 6, 3, 4, 1 + 1, 4, 3, 6, 5 \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [5 + 1, 6 + 4, 3 + 3, 4 + 6, 1 + 5 \right ]=\frac{1}{2}\left [6, 10, 6, 10, 6 \right ]}$$
$$\mathrm{\therefore x_{e}(n)=\begin{Bmatrix} 3, 5, 3, 5, 3\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
而该序列的奇分量为：
$$\mathrm{ x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)-x(-n) \right ]=\frac{1}{2}\left [5, 6, 3, 4, 1 - 1, 4, 3, 6, 5 \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [5-1,6-4,3-3,4-6,1-5\right ]=\frac{1}{2}\left [4,2,0,-2,-4\right ]}$$
$$\mathrm{\therefore x_{0}(n)=\begin{Bmatrix} 2, 1, 0, -1, -2\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
26K+ 浏览量
