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信号的偶分量和奇分量


偶信号

如果一个信号关于垂直轴或时间原点对称,则称该信号为偶信号,即:

𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡); 对所有𝑡     … 连续时间信号

𝑥(𝑛) = 𝑥(−𝑛); 对所有𝑛     … 离散时间信号

奇信号

如果一个信号关于垂直轴反对称,则称该信号为奇信号,即:

𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡); 对所有𝑡    … 连续时间信号

𝑥(−𝑛) = −𝑥(𝑛); 对所有𝑛     … 离散时间信号

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确定信号的偶分量和奇分量

连续时间情况

并非每个信号都是纯偶信号或纯奇信号,但信号可以表示为偶分量和奇分量的和,即:

𝑥(𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡)     … (1)

其中:

  • 𝑥𝑒 (𝑡) 是信号的偶分量,并且

  • 𝑥𝑜 (𝑡) 是信号的奇分量。

根据偶信号和奇信号的定义,我们有:

𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (−𝑡) + 𝑥𝑜 (−𝑡)

⟹ 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡)     … (2)

将式 (1) 和 (2) 相加,我们得到:

𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) + 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑒 (𝑡)

∴ 𝑥𝑒 (𝑡) =12[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] … (3)

xe(t)=12[x(t)+x(t)]...(3)

再次,从式 (1) 中减去式 (2),我们得到:

𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = [𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡)] − [𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡)]

⟹ 𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) − 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑜 (𝑡)

x0(t)=12[x(t)x(t)]...(4)

因此,方程 (3) 和 (4) 分别给出了连续时间信号的偶分量和奇分量。

离散时间情况

离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量由下式给出:

xe(n)=12[x(n)+x(n)]...(5)

x0(n)=12[x(n)x(n)]...(6)

数值例子 1

求连续时间信号𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡的偶分量和奇分量。

解答

给定信号为:

𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡

∴ 𝑥(−𝑡) = 𝑒−𝑗4𝑡

信号的偶分量为:

xe(t)=12[x(t)+x(t)]=12(ej4t+ej4t)=cos4t

并且,信号的奇分量为:

x0(t)=12[x(t)x(t)]=12(ej4tej4t)=jsin4t

数值例子 2

求离散时间信号 x(n) 的偶分量和奇分量,其中:

x(n)={5,6,3,4,1  }

解答

给定的离散时间序列为:

x(n)={5,6,3,4,1  }

这里:

𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4

x(n)={1,4,3,6,5  }

因此,该序列的偶分量为:

xe(n)=12[x(n)+x(n)]=12[5,6,3,4,1+1,4,3,6,5]

xe(n)=12[5+1,6+4,3+3,4+6,1+5]=12[6,10,6,10,6]

xe(n)={3,5,3,5,3  }

而该序列的奇分量为:

x0(n)=12[x(n)x(n)]=12[5,6,3,4,11,4,3,6,5]

x0(n)=12[51,64,33,46,15]=12[4,2,0,2,4]

x0(n)={2,1,0,1,2  }

更新于:2021年11月13日

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