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法学什么是能量谱密度？
能量谱密度
信号在频域中的能量分布称为能量谱密度 (ESD) 或能量密度 (ED) 或能量密度谱。ESD函数用$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )}}$表示，其表达式为：
$$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}}}$$
对于能量信号，能量谱密度曲线与频率函数的曲线下的总面积等于信号的总能量。
解释
考虑一个线性系统，其输入和输出分别为$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathrm{\mathit{y\left ( \mathit{t} \right )}}$。则$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathrm{\mathit{y\left ( \mathit{t} \right )}}$的傅里叶变换为
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{y\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}Y\left ( \omega \right )}}$$
系统的传递函数为𝐻(𝜔)。则我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Y\left ( \omega \right )\mathrm{=}H\left ( \omega \right )\cdot X\left ( \omega \right )\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
因此，输入和输出信号的ESD由下式给出：
输入函数的ESD，$\mathrm{\mathit{\psi_{x} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$
输出函数的ESD，$\mathrm{\mathit{\psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|Y\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right )}}$
由公式(1)、(2)和(3)，我们有：
$$\mathrm{\mathit{\psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|Y\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left|H\left ( \omega \right )\cdot X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|H\left ( \omega \right )\right|^{\mathrm{2}}\cdot \left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left| H\left ( \omega \right )\right|^{\mathrm{2}}\cdot \psi _{x}\left ( \omega \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore \psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left| H\left ( \omega \right )\right|^{\mathrm{2}} \psi _{x}\left ( \omega \right )\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{4} \right )}}$$
因此，从公式(4)可以清楚地看出，线性系统的输出函数的ESD是系统传递函数幅度平方的乘积和输入信号的ESD。
现在，输出信号的能量为：
$$\mathrm{\mathit{E_{y}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{y}\left ( f \right )df\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{5} \right ) }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{y}\left ( \omega \right )d\omega\; \; \; \left ( \because f\mathrm{=} \frac{\omega }{\mathrm{2}\pi } \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )d\omega\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\pi }\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )d\omega }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi }\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )d\omega }}$$
如果给定的线性系统是具有下限截止频率f1和上限截止频率f2的理想低通滤波器。则系统传递函数的幅度为
$$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( \omega \right ) \right|\mathrm{=}\mathrm{1};\; \; \; \mathrm{for \; }f_{\mathrm{1}}< f< f_{\mathrm{2}}}}$$
因此，输出信号的能量为：
$$\mathrm{\mathit{E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi }\int_{f_{\mathrm{1}}}^{f_{\mathrm{2}}}\psi _{x}\left (\omega \right )d\omega \mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi }\int_{f_{\mathrm{1}}}^{f_{\mathrm{2}}}\psi _{x}\left ( \mathrm{2} \pi f\right )d\left ( \mathrm{2}\pi f \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{E_{y}\mathrm{=}\mathrm{2}\int_{f_{\mathrm{1}}}^{f_{\mathrm{2}}}\psi _{x}\left (f \right )df\; \; \;\cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{6} \right ) }}$$
公式(6)给出了线性系统输出信号的能量，用输入信号的ESD表示。
能量谱密度的性质
能量谱密度 (ESD) 的性质如下：
性质1 – 如果$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$是具有冲激响应h(t)的线性时不变系统的输入信号，则输入和输出信号的能量谱密度 (ESD) 的关系为：
$$\mathrm{\mathit{\psi _{y}\left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )}}$$
性质2 – 能量谱密度曲线下的总面积等于信号的总能量，即：
$$\mathrm{\mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\psi \left ( f \right )df\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\psi \left ( \omega \right )d\omega }}$$
性质3 – 能量谱密度 (ESD) 函数$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )}}$和能量信号的自相关函数$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$构成傅里叶变换对，即：
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\psi \left ( \omega \right )}}$$
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