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法律研究信号与系统 – 零阶保持器及其传递函数（实际重建）
数据重建
数据重建定义为从采样信号 $\mathrm{\mathit{x_{s}\left ( t \right )}}$ 获取模拟信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的过程。数据重建也称为插值。
采样信号由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{x_{s}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( t \right )\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }\delta \left ( t-nT \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x_{s}\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\delta \left ( t-nT \right )}}$$
其中，$\mathrm{\mathit{\delta \left ( t-nT \right )}}$ 除在时刻 $\mathrm{\mathit{t\mathrm{=}nT}}$ 外均为零。一个假设为线性时不变的重建滤波器具有单位冲激响应 ℎ(𝑡)。重建滤波器的输出由卷积给出，如下所示：
$$\mathrm{ \mathit{y\left ( t \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\delta \left ( k-nT \right )h\left ( t-k \right )dk}}$$
通过重新排列积分和求和的顺序，我们得到：
$$\mathrm{ \mathit{y\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\int_{-\infty }^{\infty }\delta \left ( k-nT \right )h\left ( t-k \right )dk}}$$
$$\mathrm{ \therefore \mathit{y\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )h\left ( t-nT \right )}}$$
什么是零阶保持器？
零阶保持器是一种广泛用于实时重建信号的方法。在零阶保持器重建方法中，通过保持给定样本一段时间直到收到下一个样本，来从其样本重建连续信号。因此，零阶保持器生成阶跃近似。
图中显示了通过零阶保持器进行重建的过程。
在数学上，零阶保持器的输出由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( n \right );\; \; \mathrm{for}\: nT\leq n\leq \left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T }}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( \mathrm{0} \right );\; \; \mathrm{for}\: \mathrm{0}\leq t\leq T }}$$
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( T \right );\; \; \mathrm{for}\: T\leq t\leq \mathrm{2}T}}$$
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( \mathrm{2}T \right );\; \; \mathrm{for}\: \mathrm{2}T\leq t\leq \mathrm{3}T\: \: \mathrm{and\: so\: on}}}$$
此外，零阶保持器的冲激响应由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{h(t)\mathrm{=}\left\{\begin{matrix} \mathrm{1} &\mathrm{for\: 0}\leq t\leq T \ \mathrm{0}& \mathrm{otherwise} \ \end{matrix}\right.}}$$
零阶保持器的传递函数
零阶保持器的输出 $\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )}}$ 由其冲激响应 ℎ(𝑡) 及其输入 $\mathrm{\mathit{x\left ( nT \right )}} $ 的卷积给出，即：
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( nT \right )\ast h\left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right ) h\left ( t -nT\right )}}$$
由于零阶保持器的冲激响应由下式给出：
$$\mathrm{ \mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}u\left ( t \right )-u\left ( t-T \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{h\left ( t-nT \right )\mathrm{=}u\left ( t -nT\right )-u\left [ t-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T \right ]}} $$
$$\mathrm{\mathit{\therefore \tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\left\{ u\left ( t -nT\right )-u\left [ t-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T \right ]\right\}}}$$
对等式两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{ L\left [ \tilde{x}_{a}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ \sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\left\{ u\left ( t -nT\right )-u\left [ t-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T \right ]\right\} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\tilde{X}_{a}\left ( s \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\left [ \frac{e^{-nTs}}{s}-\frac{e^{-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )Ts}}{s} \right ]\mathrm{=}\left ( \frac{\mathrm{1}-e^{-Ts}}{s} \right )\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )e^{-nTs}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\tilde{X}_{a}\left ( s \right )\mathrm{=}\left ( \frac{\mathrm{1}-e^{-Ts}}{s} \right )X^{\ast }\left ( s \right )}}$$
因此，零阶保持器的传递函数由下式给出：
$$\mathrm{ \mathit{TF\mathrm{=}\frac{\tilde{X}_{a}\left ( s \right )}{X^{\ast }\left ( s \right )}\mathrm{=}\left ( \frac{\mathrm{1}-e^{-Ts}}{s} \right )}}$$
零阶保持器的输出包含高次谐波，因为它包含阶跃。可以通过将 ZOH 的输出应用于低通滤波器来去除这些谐波。此 LPF 倾向于平滑零阶保持器生成的阶跃近似的角。因此，此 LPF 也称为平滑滤波器。
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