拉普拉斯变换——s域微分

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt} \:\:...(1)$$

公式(1)给出了函数$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt} \:\: ...(2)$$

拉普拉斯变换的频域微分性质

说明：拉普拉斯变换的频域或s域微分性质指出，在时域中用$\mathit{'t'}$乘以函数会导致在s域中进行微分。因此，如果

$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\overset{LT}\longleftrightarrow\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

那么，

$$\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}\overset{LT}\leftrightarrow-\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

证明

根据拉普拉斯变换的定义，我们得到：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}$$

对等式两边关于s求导，我们得到：

$$\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathit{=}\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}[\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e}^{\mathit{-st}}}\mathit{dt}]$$ $$\Rightarrow\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{\frac{d}{ds}}\mathrm{(\mathit{e^{-st})}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathrm{(\mathit{-te^{-st})}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathrm{[\mathit{-tx\mathrm{(t)}}]}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{[\mathit{-tx\mathrm{(t)}}]}$$ $$\therefore\mathit{L}\mathrm{[\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

或者也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}}\overset{\mathit{LT}}{\longleftrightarrow}-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

类似地，在时域中乘以$\mathrm{t^{2}}$会导致在频域中进行二阶导数，即：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathrm{(\mathit{-t})^\mathrm{2}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{\frac{d^{\mathrm{2}}}{ds^{\mathrm{2}}}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

同样，对于$\mathit{t^{n}}$，我们得到：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathrm{(\mathit{-t})^\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\mathrm{=}\mathit{\frac{d^{\mathit{n}}}{ds^{\mathit{n}}}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$

因此，这证明了拉普拉斯变换在s域中的频域微分性质。

数值例子

利用拉普拉斯变换的频域微分性质，求函数$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ = $\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}$的拉普拉斯变换。

解答

给定的信号是：

$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}$$

单位阶跃函数的拉普拉斯变换是：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:{\frac{\mathrm{1}}{\mathit{s}}}$$

现在，利用s域微分性质[即$\:\:\mathrm{\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}}\overset{\mathit{LT}}{\longleftrightarrow}-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}]$的拉普拉斯变换，我们得到：

$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(t)}]}\mathrm{=}\mathit{L}\mathrm{[\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathrm{(\frac{\mathrm{1}}{\mathit{s}})}$$ $$\Rightarrow\mathit{L}\mathrm{[\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\frac{\mathrm{1}}{\mathit{s^{\mathrm{2}}}}}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月7日

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