三角脉冲的傅里叶变换

傅里叶变换

连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为：

$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$

三角脉冲的傅里叶变换

图1所示为三角信号：

其定义为：

$\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1+\frac{2t}{τ}\right); & for\:\left(-\frac{τ}{2}\right) <t<0\\left( 1-\frac{2t}{τ}\right); & for\:0<t<\left(\frac{τ}{2}\right)\0 \:;& otherwise\end{cases}}$

也可以写成：

$\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1-\frac{2|t|}{τ}\right); & for\:|t|<\left(\frac{τ}{2}\right)\0\: ;& otherwise\end{cases}}$

令

$\mathrm{x(t)=\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)}$

则根据傅里叶变换的定义，我们有：

$\mathrm{F\left[\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)\right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{0}\left(1+\frac{2t}{τ}\right)e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{(τ/2)}\left(1-\frac{2t}{τ}\right)e^{-j\omega t}dt}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}\left(1-\frac{2t}{τ}\right)e^{j\omega t}dt+\int_{0}^{(τ/2)}\left(1-\frac{2t}{τ}\right)e^{-j\omega t}dt}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}e^{j\omega t}dt-\int_{0}^{(τ/2)}\frac{2t}{τ}e^{j\omega t}dt+\int_{0}^{(τ/2)}e^{-j\omega t}dt-\int_{0}^{(τ/2)}\frac{2t}{τ}e^{-j\omega t}dt}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}]dt-\frac{2}{τ}\int_{0}^{(τ/2)}t\cdot[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}]dt}$

利用三角恒等式，我们得到：

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}2cos\:\omega t\:dt-\frac{2}{τ}\int_{0}^{(τ/2)}2t\:cos\:\omega t\:dt}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=2\left[ \frac{sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)}-\frac{4}{τ}\left\{\left[ \frac{t\:sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)} -\int_{0}^{(τ/2)}\left(\frac{sin\:\omega\:t}{\omega}\right)dt\right \}}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=2\left[ \frac{sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)}-\frac{4}{τ}\left \{\left[ \frac{t\:sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)} +\left[\frac{cos\:\omega\:t}{\omega^{2}}\right]_{0}^{(τ/2)}\right \}}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{2}{\omega}\left[sin \left(\frac{\omega τ}{2} \right) \right]-\frac{4}{\omega τ}\left[\frac{τ}{2}sin \left(\frac{\omega τ}{2} \right)\right]-\frac{4}{\omega^{2} τ}\left[cos \left(\frac{\omega τ}{2} \right) -1\right]}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{4}{\omega^{2} τ}\left[1-cos \frac{\omega τ}{2} \right]}$

$\mathrm{\left( \because\:2\:sin^{2}\:\theta=\frac{1-cos\:2\:\theta}{2}\right)}$

$\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{4}{\omega^{2} τ}\left[2\:sin^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)\right]=\frac{8}{\omega^{2} τ}\left[sin^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right) \right]}$

$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{8}{\omega^{2} τ}\left[\frac{sin^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)}{\left(\frac{\omega τ}{4}\right)^{2}}\right]\left(\frac{\omega τ}{4}\right) ^{2}}$

由于**sinc函数**定义为：

$\mathrm{sin c\:(t)=\frac{sin\:t}{t}}$

$\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{8}{\omega^{2} τ}\cdot sin c^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)\left(\frac{\omega τ}{4}\right)^{2}=\frac{τ}{2}\cdot sin c^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)}$