数据结构
网络
关系型数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法学三角脉冲的傅里叶变换
傅里叶变换
连续时间函数x(t)的傅里叶变换定义为：
X(ω)=∫∞−∞x(t)e−jωtdt
三角脉冲的傅里叶变换
图1所示为三角信号：
其定义为：
\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1+\frac{2t}{τ}\right); & for\:\left(-\frac{τ}{2}\right) <t<0\\left( 1-\frac{2t}{τ}\right); & for\:0<t<\left(\frac{τ}{2}\right)\0 \:;& otherwise\end{cases}}
也可以写成：
\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1-\frac{2|t|}{τ}\right); & for\:|t|<\left(\frac{τ}{2}\right)\0\: ;& otherwise\end{cases}}
令
\mathrm{x(t)=\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)}
则根据傅里叶变换的定义，我们有：
\mathrm{F\left[\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)\right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{0}\left(1+\frac{2t}{τ}\right)e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{(τ/2)}\left(1-\frac{2t}{τ}\right)e^{-j\omega t}dt}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}\left(1-\frac{2t}{τ}\right)e^{j\omega t}dt+\int_{0}^{(τ/2)}\left(1-\frac{2t}{τ}\right)e^{-j\omega t}dt}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}e^{j\omega t}dt-\int_{0}^{(τ/2)}\frac{2t}{τ}e^{j\omega t}dt+\int_{0}^{(τ/2)}e^{-j\omega t}dt-\int_{0}^{(τ/2)}\frac{2t}{τ}e^{-j\omega t}dt}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}]dt-\frac{2}{τ}\int_{0}^{(τ/2)}t\cdot[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}]dt}
利用三角恒等式，我们得到：
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{(τ/2)}2cos\:\omega t\:dt-\frac{2}{τ}\int_{0}^{(τ/2)}2t\:cos\:\omega t\:dt}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=2\left[ \frac{sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)}-\frac{4}{τ}\left\{\left[ \frac{t\:sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)} -\int_{0}^{(τ/2)}\left(\frac{sin\:\omega\:t}{\omega}\right)dt\right \}}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=2\left[ \frac{sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)}-\frac{4}{τ}\left \{\left[ \frac{t\:sin\:\omega t}{\omega}\right]_{0}^{(τ/2)} +\left[\frac{cos\:\omega\:t}{\omega^{2}}\right]_{0}^{(τ/2)}\right \}}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{2}{\omega}\left[sin \left(\frac{\omega τ}{2} \right) \right]-\frac{4}{\omega τ}\left[\frac{τ}{2}sin \left(\frac{\omega τ}{2} \right)\right]-\frac{4}{\omega^{2} τ}\left[cos \left(\frac{\omega τ}{2} \right) -1\right]}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{4}{\omega^{2} τ}\left[1-cos \frac{\omega τ}{2} \right]}
\mathrm{\left( \because\:2\:sin^{2}\:\theta=\frac{1-cos\:2\:\theta}{2}\right)}
\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{4}{\omega^{2} τ}\left[2\:sin^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)\right]=\frac{8}{\omega^{2} τ}\left[sin^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right) \right]}
\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{8}{\omega^{2} τ}\left[\frac{sin^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)}{\left(\frac{\omega τ}{4}\right)^{2}}\right]\left(\frac{\omega τ}{4}\right) ^{2}}
由于**sinc函数**定义为：
\mathrm{sin c\:(t)=\frac{sin\:t}{t}}
\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{8}{\omega^{2} τ}\cdot sin c^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)\left(\frac{\omega τ}{4}\right)^{2}=\frac{τ}{2}\cdot sin c^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)}
因此，三角脉冲的傅里叶变换为：
\mathrm{F\left[\Delta \left(\frac{t}{τ} \right)\right]=X(\omega)=\frac{τ}{2}\cdot sin c^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)}
或者，也可以表示为：
\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ} \right)\overset{FT}{\leftrightarrow}\left[\frac{τ}{2}\cdot sin c^{2}\left(\frac{\omega τ}{4}\right)\right]}
图2显示了三角脉冲幅度谱的图形表示。
16K+ 浏览量
