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法学频域卷积定理
卷积
两个信号$\mathit{x\left ( t \right )}$ 和 $\mathit{h\left ( t \right )}$ 的卷积定义为：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}x\left(t\right)*h\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}x\left(\tau\right)\:h\left(t-\tau\right)\:d\tau}}$$
这个积分也称为**卷积积分**。
频域卷积定理
**定理** - 频域卷积定理指出，两个信号在时域的乘积等效于它们频谱在频域的卷积。
因此，如果两个信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}$ 的傅里叶变换定义为
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right)} }$$
和
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)}}$$
那么，根据频域卷积定理，
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right)* X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left(t\right) \right ]\mathrm{=}X\left(\omega \right)=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\:dt}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]e^{-j\omega t}\:dt}}$$
现在，根据傅里叶逆变换的定义，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=F^{-\mathrm{1}}\left [X\left(\omega\right) \right ]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left(\omega\right)e^{j\omega t}\:d\omega} }$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}(p) e^{jpt}\:dp\right ]x_{\mathrm{2}}\left(t\right)e^{-j\omega t}\:dt}}$$
通过重新排列积分顺序，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left(p\right)\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\:e^{-j\omega t}\:e^{jpt}\:dt\right ]dp}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left(p\right)\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\:e^{-j\left(\omega -p\right)t}\:dt\right ]dp }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left(p\right)X_{\mathrm{2}}\left(\omega -p\right)\:dp}}$$
因此，根据卷积的定义，我们可以将上述表达式写成：
$$\mathrm{ \mathit{F\left [ x_{\mathrm{\mathrm{1}}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right) *X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$
或者，它也可以表示为：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right) *X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$
这就是以弧度频率表示的**频域卷积定理**。就频率而言，我们可以写成：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left(f\right)*X_{\mathrm{2}}\left(f\right);\:\:\left ( \because f=\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi } \right )}}$$
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