卡诺定理

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引言

热力学第一定律指出，在所有封闭系统中，系统的总能量是恒定的——它既不能被创造也不能被消灭。这意味着不可能在不产生功的同时产生热，反之亦然。第二定律指出，孤立系统的熵永远不会减少，而是在接近与其周围环境平衡的过程中会随着时间的推移而增加。然而，有一些方法可以优化热效率——其中之一就是卡诺定理。

卡诺定理概述

在热力学系统中，热量不能完全转化为功。这是由于一个称为热效率的概念。卡诺定理是热力学中的一个重要结果，它描述了在两个温度之间运行的热机可以提取多少功。

这篇论文的作者实际上是尼古拉·莱昂纳德·萨迪·卡诺，他的论文为热力学成为一门科学铺平了道路。他的第一个发现之一描述了如何将热能转化为机械能，并可用于做功，例如为发动机提供动力。这个过程是驱动蒸汽机的过程；它也称为热机理论，或者简称为卡诺定理。

什么是可逆和不可逆发动机？

为了充分理解热机如何以及为什么工作，我们需要定义可逆和不可逆发动机的含义。可逆发动机是指每一步输入能量只产生同样数量的输出能量的发动机。另一方面，不可逆发动机将其一部分输入能量转化为无用的热量，因此永远不可能完全高效。事实上，如果一个不可逆发动机是100%高效的，那么任何温度差都会产生无限大的功，这是不可能发生在现实中的。

这意味着所有现实世界的发动机都不可逆地损失了一些能量，因此它们的效率总是低于1。但是，有一些方法可以使它们比其他发动机更有效率；例如，蒸汽轮机或喷气发动机的效率约为50%，而汽车中使用的内燃机的效率高达80%。现在我们知道了这些术语的含义，让我们来看看卡诺定理本身。

卡诺定理的陈述

在相同两个热源之间具有冷端和热端的发动机（卡诺发动机）比具有相同冷端和热端但在不同热源之间工作的发动机效率更高。这可以通过使用可逆过程来证明。本笔记的目的是从第一性原理证明和解释卡诺定理。

操作方式无关紧要；所有卡诺发动机在两个热源之间的效率都相同。这意味着如果在温度T1和T2处有两个热源，那么在它们之间运行的卡诺发动机的效率将尽可能高。只要我们在这些温度水平上运行我们的发动机，我们就无法提高其效率。如果您不确定发动机效率在发动机环境中的含义，请考虑功除以能量消耗。

图片即将推出

让我们考虑在温度T1和T2（T1>T2）处的两个热源，R是可逆发动机，I是不可逆发动机。A表示不可逆，B表示可逆。

对于可逆发动机，Q1是发动机1吸收的热量，排出的热量是Q2。所做的功W1为：

$$\mathrm{W_1\:=\:Q_1\:-\:Q_2}$$

对于不可逆发动机：

$$\mathrm{W_1'\:=\:Q_1'\:-\:Q_2'}$$

共同的热源是：

$$\mathrm{Q_1A\:=\:Q_2B}$$

效率是

$\mathrm{\eta_A\:=\:W_A/Q_1A|\eta_B\:=\:W_B/Q_1B}$

如果$\mathrm{\eta_A \gt \eta_B\:=\:\gt\:W_A\:\gt\:W_B}$

$\mathrm{\Rightarrow\:W_A-W_B\:\gt\:0}$ (公式1)

在功的方向反转后，热机转化为热泵。这样，A的功输出就变成了B的功输入，B充当热泵。

功输出是

$\mathrm{W_A-W_B\:\gt\:0}$，我们得到正净功输出。

$$\mathrm{\eta_A\:\gt\:\eta_B\:or\:\eta_{Reversible}\gt \eta_{Irreversible}}$$

卡诺定理的应用

以下是卡诺定理的一些应用和局限性

• 热机是热力学系统的一个例子。

• 冰箱是热泵的一个例子。

• 热力学系统可以用来做功。

• 热量自然地从高温物体流向低温物体。

• 在我们的宇宙中没有永动机。

• 我们可以用卡诺定理来计算热机可以做的功。

• 我们可以用卡诺定理来计算冷却物体所需的能量

卡诺定理的局限性

卡诺定理有四个主要的局限性，如下所示

• 它描述了一个无摩擦的循环。这就是为什么理想的发动机必须没有摩擦。

• 它没有描述从温度T1开始并在温度T2结束的循环，而是描述从较高温度开始并到较低温度的循环。

• 它描述了一个熵不变的可逆过程；然而，许多过程是不可逆的，熵会增加。

• 最后，没有提到热量流入或流出系统；因此我们不知道在运行过程中热量是流入还是流出发动机。

常见问题

Q1. 用于查找卡诺发动机获得效率的表达式是什么？

Ans. $\mathrm{Η_{max} \:= \:T_H \:- \:T_C / T_H}$

发动机的机械效率称为每单位供热量所做的功。

Q2. 卡诺发动机是谁提出的？

Ans. 尼古拉·莱昂纳德·萨迪·卡诺

Q3. 可逆冰箱的COP是多少？

Ans. 其中之一是冰箱，它通过将热量从外部来源转移到自身来冷却其内容物。由于没有热量转移到其周围环境或从其周围环境转移，因此其COP必须为零。

Q4. 简单燃气轮机循环的效率和功比是多少？

Ans. 与功比相比，效率比极低。