罗尔定理和拉格朗日中值定理

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简介

罗尔定理和拉格朗日中值定理是在一个区间上对函数进行解释，如果函数满足在给定闭区间上的连续条件和在给定开区间上的可微条件。函数在闭区间上的连续性定义为函数的图形在该区间上不应包含任何断裂。函数在开区间上的可微性定义为函数在区间中的每个点都应该是可微的。

连续性和可微性

连续性：让我们取一个函数 𝑓(𝑥)，其定义域为一个点 𝑘，该点在函数的定义域中。

如果 $\mathrm{\lim_{x\:\rightarrow\:k}f(x)\:=\:f(k)}$，则函数 𝑓(𝑥) 在点 𝑘 处是连续的。

准确地说，在 $\mathrm{x\:=\:k:\:\lim_{x\:\rightarrow\:k}f(x)\:=\:f(k)\:=\:\lim_{x\:\rightarrow\:k}f(x)}$

如果函数满足以下条件，则该函数在闭区间 [𝑎, 𝑏] 上是连续的。

• 该函数在其开区间 (𝑎, 𝑏) 上应该是连续的

• $\mathrm{\lim_{x\:\rightarrow\:a}f(x)\:=\:f(a)}$

• $\mathrm{\lim_{x\rightarrow\:b}f(x)\:=\:f(b)}$

可微性：假设一个函数 𝑓(𝑥)，如果极限存在，则其导数为 𝑓′(𝑥)

那么 $\mathrm{f'(x)\:=\:\lim_{h\rightarrow\:0}\:\frac{f(x\:+\:h)\:-\:f(x)}{h}}$ 如果函数在 x = k 处的 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0}\:\frac{f(k\:+\:h)\:-\:f(k)}{h}\:=\:\lim_{h\rightarrow\:0}\frac{f(k\:+\:h)\:-\:f(k)}{h}}$ 相等且有限，则该函数在该点处是可微的。

在一个开区间中，如果函数在该区间的每个点都可微，则该函数是可微的。

在闭区间 [𝑎, 𝑏] 中，如果函数满足以下条件，则该函数是可微的。

• 如果函数在 𝑎 处的右导数 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0^{-}}\frac{f(a\:+\:h)\:-\:f(a)}{h}}$ 和函数在 𝑏 处的左导数 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0^{-}}\frac{f(b\:+\:h)\:-\:f(b)}{h}}$

• 函数的 $\mathrm{f'(x)}$ 在区间 (𝑎, 𝑏) 的每个点都存在

罗尔定理

罗尔定理定义为，如果在 [𝑎, 𝑏] 上定义的函数满足以下条件：

• 函数在 [𝑎, 𝑏] 上是连续的

• 函数在 (𝑎, 𝑏) 上是可微的

那么在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一个点，假设为 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$

可能存在多个值，但至少存在一个值。

罗尔定理也定义为，如果 $\mathrm{f(a)\:=\:f(b)}$，则在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一个点，假设为 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$

如果多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:0}$ 有两个根，则 $\mathrm{f'(x)\:=\:0}$ 至少有一个根位于多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:0}$ 的根之间。

拉格朗日中值定理

它定义为，如果在区间 [𝑎, 𝑏] 上定义的函数满足以下条件：

• 函数在 [𝑎, 𝑏] 上是连续的

• 函数在 (𝑎, 𝑏) 上是可微的

那么在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一个点，假设为 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:\frac{f(b)\:-\:f(a)}{b\:-\:a}}$ 如果 $\mathrm{f(b)\:=\:f(a)\:then\:f'(k)\:=\:0}$ 是罗尔定理。

介值定理

一般来说，假设函数的连续图形，在连续图形中取两点，并考虑一条线，使得这两点位于线的相对两侧，则它必须至少与图形相交一次，当然，对于这两点位于相对两侧，它必须穿过该线，这是介值定理的基本思想。

定义：一个函数 $\mathrm{f(x)}$ 在区间 [a, b] 上是连续的，其中 𝑘 是 𝑓(𝑎) 和 𝑓(𝑏) 之间的一个值，则必须至少存在一个值，假设为 𝑐，位于 [a, b] 之间，使得 $\mathrm{f(c)\:=\:k}$。该定义表示至少存在一个值，但可能存在多个值。

例题解析

1) 检查以下函数是否满足罗尔定理 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1\:for\:[-3\:,\:3]}$ ?

给定函数 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$ 在该区间上是连续且可微的。

$$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$$

$\mathrm{f(3)\:=\:x^{2}\:+\:1\:=\:9\:+\:1\:=\:10}$

$\mathrm{f(-3)\:=\:x^{2}\:+\:1\:=\:9\:+\:1\:=\:10}$

$$\mathrm{f(3)\:=\:f(-3)\:10}$$

根据罗尔定理的定义，我们知道，假设在 (-3, 3) 中存在一个 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$

$$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$$

$\mathrm{f'(x)\:=\:0}$

$$\mathrm{x\:=\:0}$$

0 位于 (−3, 3) 之间。因此得证。

2) 检查以下函数是否满足拉格朗日定理 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1\:for\:[-2\:,\:2]}$

给定函数 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$ 在区间 $\mathrm{[-2\:,\:2]}$ 上定义。

$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$ 在区间 $\mathrm{[-2\:,\:2]}$ 上是连续的。

$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$ 在区间 $\mathrm{(-2\:,\:2)}$ 上是可微的。

$$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$$

$$\mathrm{f'(x)\:=\:2x\:+\:2}$$

$\mathrm{f(-2)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1\:=\:4\:-\:4\:+\:1\:=\:1}$

$\mathrm{f(2)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1\:=\:4\:+\:4\:+\:1\:=\:9}$

根据拉格朗日定理，我们知道 $\mathrm{f'(k)\:=\:\frac{f(b)\:-\:f(a)}{b\:-\:a}\:=\:2}$

$$\mathrm{f'(k)\:=\:2}$$

$$\mathrm{f'(k)\:=\:2k\:+\:2\:=\:2}$$

𝑘 = 0 位于 [−2, 2] 之间。因此得证。

结论

在本教程中，我们学习了函数在区间上的连续性和可微性、函数在区间上的罗尔定理、函数在区间上的拉格朗日定理以及函数在区间上的介值定理，以及一些示例。

常见问题

1. 定义罗尔定理和拉格朗日中值定理？

罗尔定理指出，在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一个点，假设为 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$ 拉格朗日定理指出，在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一个点，假设为 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:\frac{f(b)\:-\:f(a)}{b\:-\:a}}$

2. 如何验证函数在闭区间上是连续的？

在闭区间 [𝑎, 𝑏] 中，函数是连续的

• 如果函数在其开区间 (𝑎, 𝑏) 上是连续的

• $\mathrm{\lim_{x\rightarrow\:a}f(x)\:=\:f(a)}$

• $\mathrm{\lim_{x\rightarrow\:b}f(x)\:=\:f(b)}$

3. 如何验证函数在闭区间上是可微的？

在闭区间 [𝑎, 𝑏] 中，如果函数在 𝑎 处的右导数 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0}\frac{f(a\:+\:h)\:-\:f(a)}{h}}$ 存在，函数在 𝑏 处的左导数 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0}\frac{f(b\:+\:h)\:-\:f(b)}{h}}$ 存在，并且函数的 $\mathrm{f'(x)}$ 在区间 (𝑎, 𝑏) 的每个点都存在，则该函数是可微的。

4. 使用介值定理检查多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6}$ 在 [𝟎, 𝟑] 之间是否有根？

给定 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6}$ 在 [0, 3] 中是连续的，因为它是一个多项式函数。

在 $\mathrm{x\:=\:0\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6\:=\:-6}$

在 $\mathrm{x\:=\:3\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6\:=\:6}$

要有一个根，多项式函数的图形必须穿过 y = 0。函数在 0 和 3 处的值位于直线 y = 0 的相对两侧，或者数字 0 位于 𝑓(0) 和 𝑓(3) 之间。因此，图形必须在 [0, 3] 中穿过 y = 0。它在 [0, 3] 之间有一个根。

5. 使用介值定理检查多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:5x\:+\:6}$ 在 [-3, 0] 之间是否有根？

给定 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:5x\:+\:6}$ 在 [-3, 0] 中是连续的，因为它是一个多项式函数

在 $\mathrm{x\:=\:-3\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:-\:-\:5x\:+\:6}$

在 $\mathrm{x\:=\:0\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:-\:5x\:+\:6\:=\:6}$

要有一个根，多项式函数的图形必须穿过 y = 0。

函数在 -3 和 0 处的值位于直线 y = 0 的同一侧，或者数字 0 不位于 𝑓(0) 和 𝑓(−3) 之间。

因此，图形不会在 [-3, 0] 中穿过 y = 0。它在 [-3, 0] 之间没有根。