余数定理与多项式

---

简介

余数定理用于求一个多项式除以另一个多项式时的余数。多项式是由不同的代数项组成的代数表达式，这些项通过数学运算符（如加号 (+) 和减号 (-)）连接在一起。

多项式的概念几乎应用于数学的各个领域。此外，多项式被认为是微积分的重要分支之一。它还在科学中有着广泛的应用。它是代数和代数几何的核心概念。它用于形成多项式方程和文字题，以分析和解决难题。在本教程中，我们将学习多项式、不同类型多项式以及用于解决多项式的定理，即余数定理和因式定理。

什么是多项式？

多项式这个词是由两个词“poly”和“nominal”组成的。“poly”意为多，“nominal”意为项。它是一个由两个或多个具有不同幂和相同变量的代数项组成的表达式，这些项通过数学运算符连接在一起。多项式中的项包含变量、常数、系数和数学运算符。

• 变量 - 用于表示未知值的字母。这些值是变化的。

• 系数 - 变量的倍数。

• 常数 - 具有固定值的数字。在任何数学条件下它都不会改变。

• 数学运算符 - 这些符号用于表示和执行基本的算术运算，如加法、减法、乘法和除法。

• 指数 - 任何变量要提升的幂。

例如，$\mathrm{5x^{2}\:+\:2x\:-\:3}$

这里 𝑥 是变量，5 和 2 分别是 $\mathrm{x^{2}\:and\:x}$ 的系数，3 是常数值，+ 和 - 是数学运算符，2 是变量 𝑥 的指数。

多项式根据两个依据进行分类 -

• 根据项数分类的多项式

• 根据次数分类的多项式

根据项数分类的多项式

根据项数，多项式可分为 3 类 -

i) 单项式

只包含一项的代数表达式称为单项式

例如，$\mathrm{5x\:,\:\frac{4}{3}m}$

ii) 二项式

包含两项的代数表达式称为二项式。

例如，$\mathrm{2x\:-\:3x\:,\:5m\:-\:3m}$

iii) 三项式

包含三项的代数表达式称为三项式。

例如，$\mathrm{8x^{2}\:+\:5x^{2}\:-\:2x\:,\:5x^{2}\:+\:3x\:-\:2}$

根据次数分类的多项式

进一步根据次数对多项式进行分类，首先我们需要理解次数的概念。任何多项式的次数都是变量的最高幂

根据变量的次数，单变量多项式分为三种类型 -

i) 线性多项式

次数为 1 的多项式称为线性多项式。

线性多项式的标准形式为 $\mathrm{ax\:+\:b}$，其中，𝑎 和 𝑏 是实数，a 不等于 0。

例如，$\mathrm{3x\:-\:1\:,\:7m}$

ii) 二次多项式

次数为 2 的多项式称为二次多项式

二次多项式的标准形式为 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:c}$

其中 𝑎、𝑏 和 𝑐 是实数，a 不等于 0

例如，$\mathrm{2x^{2}\:-\:3x\:+\:5\:,\:-2y^{2}}$

iii) 三次多项式

次数为 3 的多项式称为三次多项式。

三次多项式的标准形式为 $\mathrm{ax^{3}\:+\:bx^{2}\:+\:cx\:+\:d}$

其中 $\mathrm{a\:,\:b\:,\:c\:\&\:d}$ 是实数，a 不等于 0。

例如，$\mathrm{x^{3}\:+\:3x^{2}\:+\:5x\:+\:2}$

多项式可以表示为 $\mathrm{p(x)\:,\:q(m)\:,\:r(y)}$，根据多项式中存在的变量类型。这些多项式可以写成三种形式，第一种是标准形式，第二种是系数形式，另一种是指数形式。

例如，将 $\mathrm{3m^{5}\:-\:7m\:+\:5m^{3}\:+\:2\:\:\:\&\:\:\:x^{4}\:-\:3x^{3}\:+\:2x^{2}\:+\:5x\:-\:7}$ 写成标准、系数和指数形式

多项式的标准形式	多项式的系数形式	多项式的指数形式
$\mathrm{3m^{5}\:+\:5m^{3}\:-\:7m\:+\:2}$	$\mathrm{(3\:,\:0\:,\:5\:,\:0\:,\:-7\:,\:2)}$	$\mathrm{3m^{5}\:+\:0m^{4}\:+\:5m^{3}\:-\:0m^{2}\:-\:7m\:+\:2}$
$\mathrm{x^{4}\:-\:3x^{3}\:+\:5x\:+\:2x^{2}\:-\:7}$	$\mathrm{(1\:,\:-3\:,\:2\:,\:5\:,\:,\:-7)}$	$\mathrm{x^{4}\:-\:3x^{3}\:+\:2x^{2}\:-\:5x\:-\:7}$

什么是因式定理？

因式定理用于求多项式的根和因式。该定理将多项式的因式和零点联系起来。

在学习因式定理之前，我们首先需要了解多项式的零点

多项式的零点

多项式的零点是指多项式的值为零的点。

因式定理：如果 𝑝(𝑥) 是一个 n 次多项式，𝑎 是任何实数，则

• $\mathrm{(x\:-\:a)\:是\:p(x)\:的因式\:，如果\:p(a)\:=\:0\:\&}$

• $\mathrm{(a)\:=\:0\:，如果\:(x\:-\:a)\:是\:p{x}\:的因式}$

证明 - $\mathrm{被除数\:=\:除数\:\times\:商\:+\:余数}$

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\:\times\:q(x)}$$

利用余数定理，

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:p(a)}$$

令 𝑝(𝑎) = 0，得到，

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:0}$$

因此，$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)}$

所以我们可以说 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 是多项式 𝑝(𝑥) 的因式。

利用因式定理求多项式因式的步骤

• 用给定的 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 除以给定的多项式 𝑝(𝑥)

• 除法后，确认余数是否为零。如果余数不为零，则表示 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 不是 𝑝(𝑥) 的因式。

• 利用除法，将给定的多项式写成 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 和二次商的乘积。

• 将给定的多项式表示为其因式的乘积。

什么是余数定理？

该定理用于求一个多项式除以一个线性多项式时的余数。当我们进行除法时，剩下的数字或项称为余数。因此，让我们讨论余数定理。

余数定理

设 $\mathrm{p(x)}$ 是任何次数大于或等于 1 的多项式，并设 x 为任何实数。假设 $\mathrm{p(x)}$ 除以 $\mathrm{x\:-\:a}$，商为 $\mathrm{q(x)}$，余数为 $\mathrm{r(x)}$，则余数为 𝑝(𝑎)。

证明 - 设 $\mathrm{p(x)}$ 是任何次数大于或等于 1 的多项式，并设 x 为任何实数。假设 $\mathrm{p(x)}$ 除以 $\mathrm{x\:-\:a}$，商为 $\mathrm{q(x)}$，余数为 $\mathrm{r(x)}$。数学上可以表示为

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:r(x)}$$

这里 $\mathrm{x\:-\:a}$ 的次数为 1，𝑟(𝑥) 的次数小于 $\mathrm{x\:-\:a}$ 的次数

因此 𝑟(𝑥) 的次数 = 0。这意味着 𝑟(𝑥) 是常数，记为 r

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:r}$$

特别是，如果我们考虑 $\mathrm{x\:=\:a}$，该方程将给出，

$$\mathrm{p(a)\:=\:(a\:-\:a)\:\times\:q(a)\:+\:r}$$

证毕。

利用余数定理求多项式的整除性和因式

多项式的整除性

考虑三个多项式 $\mathrm{p(x)\:,\:q(x)\:\&\:r(x)}$

因此 $\mathrm{p(x)\:=\:q(x)\:.\:r(x)}$

如果 $\mathrm{p(x)\:,\:q(x)\:\&\:r(x)}$ 是具有整数系数的多项式，那么我们可以说 $\mathrm{p(x)}$ 可以被 $\mathrm{q(x)}$ 整除。

此属性也适用于有理数和复数系数

多项式的因式

如果 $\mathrm{p(x)\:=\:q(x)\:.\:r(x)}$ 则我们可以说，$\mathrm{q(x)}$ 和 $\mathrm{r(x)}$ 是 $\mathrm{p(x)}$ 的因式。

例题

1) 利用余数定理，将 $\mathrm{x^{4}\:-\:5x^{2}\:-\:4x}$ 除以 $\mathrm{x\:+\:3}$ 并求余数。

答案 - 这里，被除多项式 $\mathrm{p(x)\:=\:x^{4}\:-\:5x^{2}\:-\:4x}$

$\mathrm{除数\:=\:x\:+\:3}$

$\mathrm{令\:x\:=\:-3}$

将 𝑥 的值代入被除多项式，得到，

$\mathrm{p(-3)\:=\:(-3)^{4}\:-\:5(-3)^{2}\:-\:4(-3)}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:81\:-\:45\:+\:12}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:48}$

因此余数为 48

2) 如果多项式 $\mathrm{t^{3}\:-\:3t^{2}\:+\:kt\:+\:50}$ 被 −𝟑 除，余数为 62，则求 𝒌 的值。

答案 - 当给定多项式 $\mathrm{t^{3}\:-\:3t^{2}\:+\:kt\:+\:50}$ 被 $\mathrm{t\:-\:3}$ 除时，余数为 62，这意味着当 𝑡 = 3 时，多项式的值为 62。

因此 $\mathrm{p(t)\:=\:t^{3}\:-\:3t^{2}\:+\:kt\:+\:50}$

利用余数定理，

$$\mathrm{p(3)\:=\:3^{3}\:-\:3\times\:3^{2}\:+\:k\times\:3\:+\:50}$$

$$\mathrm{\:=\:27\:-\:27\:+\:3k\:+\:50}$$

$$\mathrm{=\:3k\:+\:50}$$

但余数为 $\mathrm{62\:.............(已知)}$

因此

$\mathrm{3k\:+\:50\:=\:62}$

$\mathrm{3k\:=\:62\:-\:50}$

$\mathrm{3k\:=\:12}$

$\mathrm{k\:=\:4}$

3) 若多项式 $\mathrm{p(x)\:=\:x^{3}\:+\:4x\:-\:5}$ 除以 $\mathrm{x\:-\:1}$，求余数，并判断 $\mathrm{x\:-\:1}$ 是否为 𝒑(𝒙) 的因式？

答案 - 这里 $\mathrm{p(x)\:x^{3}\:+\:4x\:-\:5}$

$\mathrm{p(1)\:=\:\:1^{3}\:+\:4\times\:1\:-\:5}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:1\:+\:4\:-\:5}$

这里余数为零，

因此，根据余数定理

$\mathrm{x\:-\:1}$ 是 𝑝(𝑥) 的因式。

4) 因式分解 $\mathrm{(x\:+\:2)\:(x\:-\:3)\:(x\:-\:7)\:(x\:-\:2)\:+\:64}$

答案 - $\mathrm{(x\:+\:2)\:(x\:-\:3)\:(x\:-\:7)\:(x\:-\:2)\:+\:64}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:=\:(x^{2}\:-\:5x\:-\:4)(x^{2}\:-\:5x\:+\:6)\:+\:64}$

令 $\mathrm{x^{2}\:-\:5x\:=\:m}$

$\mathrm{=\:(m\:-\:14)\:(m\:+\:6)\:+\:63}$

$\mathrm{=\:m^{2}\:-\:14m\:+\:6m\:-\:84\:+\:84}$

$\mathrm{=\:m^{2}\:-\:8m\:-\:20}$

$\mathrm{=\:(m\:-\:10)\:(m\:+\:2)}$

$\mathrm{=\:(x^{2}\:-\:5x\:-\:10)\:(x^{2}\:-\:5x\:+\:2)\:.............(将\:x^{2}\:-\:5x\:替换为\:m)}$

结论

本教程涵盖了余数定理和多项式主题。我们学习了多项式、不同类型的多项式、多项式的不同形式、余数定理和因式定理，以及相关的示例。

多项式是由代数项构成的代数表达式。它是代数和代数几何中的核心概念。它在科学和数学领域有着广泛的应用。在几何学中，它被用来表示形状的周长和面积以及立体的体积。它也被用来表示气象学中的天气模式。本教程将帮助您理解余数定理和多项式。

常见问题

1. 什么是四项式？

四项式是一种包含四个项的多项式。

例如，$\mathrm{m^{4}\:-\:2m^{2}\:-\:5\:=\:0}$

2. 余数定理和因式定理有什么区别？

余数定理将除以二项式后的余数与函数在某一点的值联系起来，而因式定理将多项式的因式与其零点联系起来。

3. 说明余数定理的一个应用。

余数定理的主要应用是因式定理。因式定理是从余数定理推导出来的，用于确定多项式的根。

4. 说明因式定理的应用。

在现实生活中，因式分解的概念可以应用于兑换货币、将任何数量分成相等的部分以及比较价格。

5. 说明因式定理的重要性。

它是一种特殊类型的多项式定理，用于求多项式的根或因式。这是求多项式因式最简单的方法。