使用因式定理，对下列每个多项式进行因式分解：$x^3 -10x^2 - 53x - 42$

已知

给定表达式为 $x^3 -10x^2 - 53x - 42$。

要求

我们必须使用因式定理找到给定多项式。

解答

令 $f(x)=x^{3}-10 x^{2}-53 x-42$。

常数项 $-42$ 的因数为 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$
令 $x=-1$，这意味着

$f(-1)=(-1)^{3}-10(-1)^{2}-53(-1)-42$

$=-1-10+53-42$

$=53-53$

$=0$

因此，$x+1$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

令 $x=-3$，这意味着

$f(-3)=(-3)^{3}-10(-3)^{2}-53(-3)-42$

$=-27-90+159-42$

$=159-159$

$=0$

因此，$x+3$ 是 $f(x)$ 的一个因式

用 $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$ 除以 $f(x)$，我们得到：

$x^{2}+4 x+3$) $x^{3}-10 x^{2}-53 x-42$($x-14$

                            $x^{3}+4 x^{2}+3 x$

                        ---------------------------

                                      $-14 x^{2}-56 x-42$

                                      $-14 x^{2}-56 x-42$

                                   --------------------------

                                                 0

因此，$x^{3}-10^{2}-53 x-42=(x+1)(x+3)(x-14)$. 

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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