利用因式定理，分解下列多项式：$x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

已知

已知表达式为 $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$。

解题步骤

我们需要分解该多项式。

解答

设 $f(x)=x^{4}+10 x^{3}+35 x^{2}+50 x+24$

常数项 24 的因数为 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12$ 和 $\pm 24$
设 $x=-1$，这意味着

$f(-1)=(-1)^{4}+10(-1)^{3}+35(-1)^{2}+50(-1)+24$

$=1-10+35-50+24$

$=60-60$

$=0$

因此，$x+1$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

设 $x=-2$，这意味着

$f(-2)=(-2)^{4}+10(-2)^{3}+35(-2)^{2}+50(-2)+24$

$=16-80+140-100+24$

$=180-180$

$=0$

因此，$x+2$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

设 $x=2$，这意味着

$f(2)=(2)^{4}+10(2)^{3}+35(2)^{2}+50(2)+24$

$=16+80+140+100+24$

$=360 \
等于0

因此，$x-2$ 不是 $f(x)$ 的因式。

设 $x=-3$，这意味着

$f(-3)=(-3)^{4}+10(-3)^{3}+35(-3)^{2}+50(-3)+24$

$=81-270+315-150+24$

$=420-420$

$=0$

因此，$x+3$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

设 $x=-4$，这意味着

$f(-4)=(-4)^{4}+10(-4)^{3}+35(-4)^{2}+50(-4)+24$

$=256-640+560-200+24$

$=840-840$

$=0$

因此，$x+4$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

因此，$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$。

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更新于：2022年10月10日

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