使用因式定理，分解下列多项式：$x^3 + 13x^2 + 32x + 20$

已知

已知表达式为 $x^3 + 13x^2 + 32x + 20$。

要求

我们必须使用因式定理求解该多项式。

解答

设 $f(x)=x^{3}+13 x^{2}+32 x+20$

常数项 20 的因数为 $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$。

设 $x=-1$，则

$f(-1)=(-1)^{3}+13(-1)^{2}+32(-1)+20$

$=-1+13-32+20$

$=33-33$

$=0$

因此，$x+1$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

设 $x=-2$，则

$f(-2)=(-2)^{3}+13(2)^{2}+32(-2)+20$ (此处应为13(-2)²)

$=-8+52-64+20$

$=72-72$

$=0$

因此，$x+2$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

将 $f(x)=x^{3}+13 x^{2}+32 x+20$ 除以 $(x+1)(x+2)=x^{2}+3 x+2$，我们得到：

$x^{2}+3 x+2$) $x^{3}+13 x^{2}+32 x+20$($x+10$

                            $x^{3}+3 x^{2}+2 x$

                          ----------------------------

                                       $10 x^{2}+30 x+20$
                                       $10 x^{2}+30 x+20$

                                    --------------------------

                                                       0

因此，$x^{3}+13 x^{2}+32 x+20=(x+1)(x+2)(x+10)$。

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更新于： 2022年10月10日

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