利用因式定理，对下列每个多项式进行因式分解：$2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45$

已知

给定的表达式为 $2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45$。

要求

我们需要对给定的多项式进行因式分解。

解答

令 $f(x)=2 x^{4}-7 x^{3}-13 x^{2}+63 x-45$

常数项 $-45$ 的因数为 $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15$ 和 $\pm 45$。
令 $x=1$，这意味着：

$f(1)=2(1)^{4}-7(1)^{3}-13(1)^{2}+63(1)-45$

$=2(1)-7(1)-13(1)+63(1)-45$

$=2-7-13+63-45$

$=65-65$

$=0$

因此，$x-1$ 是 $f(x)$ 的一个因数。

令 $x=3$，这意味着：

$f(3)=2(3)^{4}-7(3)^{3}-13(3)^{2}+63(3)-45$

$=162-189-117+189-45$

$=351-351$

$=0$

因此，$x-3$ 是 $f(x)$ 的一个因数。

令 $x=5$，这意味着：

$f(5)=2(5)^{4}-7(5)^{3}-13(5)^{2}+63(5)-45$

$=1250-875-325+315-45$

$=1565-1245$

$=320 \
等于 0

因此，$x-5$ 不是 $f(x)$ 的因数。

令 $x=-3$，这意味着：

$f(-3)=2(-3)^{4}-7(-3)^{3}-13(-3)^{2}+63(-3)-45$

$=162+189-117-189-45$

$=351-351$

$=0$

因此，$x+3$ 是 $f(x)$ 的一个因数。

用 $(x-1)(x-3)(x+3)=x^{3}-x^{2}-9 x+9$ 除以 $f(x)$，得到：

$x^3-x^2-9x+9$)$2 x^{4}-7 x^{3}-13 x^{2}+63 x-45$($2x-5

                              $2x^4-2x^3-18x^2+18x$

                         ------------------------------------------

                                        $-5x^3+5x^2+45x-45$

                                        $-5x^3+5x^2+45x-45$

                           ----------------------------------------

                                                     0

因此，$2 x^{4}-7 x^{3}-13 x^{2}+63 x-45=(2x-5)(x-1)(x-3)(x+3)$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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