尼科马库斯定理

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根据尼科马库斯定理，前n个整数的立方和等于第n个三角数的平方。

或者，我们也可以说：

前n个自然数的立方和等于前n个自然数之和的平方。

用代数式表示：

$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n i^3=\lgroup \frac{n^2+n}{2}\rgroup^2}$$

定理

$$1^3 = 1$$

$$2^3 = 3 + 5$$

$$3^3 = 7 + 9 + 11$$

$$4^3 = 13 + 15 + 17 + 19\vdots$$

推广

$$n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup$$

数学归纳法证明

对于所有n ∈ 自然数，设P(n) 为命题：

$$n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup$$

归纳基础

$$\mathrm{P\lgroup 1\rgroup\: 为真，因为这只是说\: 1^{3}= 1}$$

归纳假设

现在我们需要证明，如果P(k) 为真，其中k≥1，那么逻辑上可以得出

$$\mathrm{P\lgroup k+1\rgroup 为真。}$$

所以这是我们的归纳假设

$$k^3=\lgroup k^2−k+1\rgroup+\lgroup k^2−k+3\rgroup+⋯+ \lgroup k^2+k−1\rgroup$$

然后我们需要证明：

$$\mathrm{\lgroup k+1\rgroup^{3}=\lgroup\lgroup k+1\rgroup^{2}- \lgroup k+1\rgroup+1\rgroup+\lgroup\lgroup k+1\rgroup{2}- \lgroup k+1\rgroup+3\rgroup+\dotso+\lgroup\lgroup k+1\rgroup ^{2}+\lgroup k+1\rgroup-1\rgroup}$$

归纳步骤

$$\mathrm{设 \:T_{k}=\lgroup k^{2}−k+1\rgroup+\lgroup k^{2}−k+3\rgroup+⋯+ \lgroup k^{2}+k−1\rgroup.}$$

我们可以将其表示为：

$$\mathrm{T_{k}=\lgroup k^{2}−k+1\rgroup+\lgroup k^{2}−k+3\rgroup+⋯+\lgroup k^{2}-k+2k−1\rgroup.}$$

我们看到T_k中有K项。

让我们考虑T_k+1中的一般项((k+1)²−(k+1)+j)：

$$\mathrm{\lgroup k+1\rgroup^{2}−\lgroup k+1\rgroup+j=k^{2}+2k+1− \lgroup k+1\rgroup+j}$$

$$\mathrm{=k^{2}+j+2k}$$

因此，在Tk+1中，每一项都比T_k中对应的项大2k。

$$\mathrm{T^{k}+1= T^{k} +k\lgroup 2k\rgroup+ \lgroup k+1\rgroup^{2}+\lgroup k+1\rgroup−1}$$

$$\mathrm{= k^{3}+k\lgroup 2k\rgroup+\lgroup k+1\rgroup^{2}+\lgroup k+1\rgroup−1}$$

$$\mathrm{= k^3+2k^2+k^2+2k+1+k+1−1}$$

$$\mathrm{= k^3+3k^2+3k+1}$$

$$\mathrm{= \lgroup k+1\rgroup^3}$$

$$\mathrm{所以\: P\lgroup k\rgroup \Rightarrow P\lgroup k+1\rgroup}$$

根据数学归纳法原理，结果成立。

因此

$$\mathrm{n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup}$$

问题陈述

给定一个数字n，验证n的尼科马库斯定理。如果定理成立，则打印“Yes”，否则打印“No”。

方法

为了验证尼科马库斯定理，我们将首先计算立方和。然后我们将计算自然数之和。之后，我们将比较立方和与自然数之和的平方。

示例

$$\mathrm{对于\: n = 5} $$

$$\mathrm{立方和\colon 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 225}$$

$$\mathrm{自然数和\colon 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15}$$

解决方案

为了计算自然数之和，我们将使用我们已经知道的公式，即：

$$\mathrm{前N个自然数之和= n*\lgroup n+1\rgroup/2.}$$

我们称之为 **自然数和**。

为了计算立方和，我们将从一个值为0的变量开始。然后迭代所有自然数，计算它们的立方并将这些值添加到变量中，我们称之为 **立方和**。

然后我们将计算出的 **立方和** 与 **自然数和** 的平方进行比较。如果它们相等，则尼科马库斯定理将得到验证。

伪代码

Start
sumOfCubes = 0;
For 1=< k <= n
sumOfCubes = sumOfCubes + k^3;
sumOfNatural= n * (n + 1) / 2;
If (sumOfNatural)^2 is equal to sumOfCubes
Then print Yes
Else Print No
End

示例1

下面是一个验证尼科马库斯定理的C++程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to calculate the sum of cubes and to find the sum of natural numbers and then comparing them
void verifyTheorem(int n){
   // Initializing sum as 0
   int sumOfCubes = 0;
   // Iterating through natural numbers and adding their cubes to sum
   for (int k = 1; k <= n; k++){
      sumOfCubes += k * k * k;
   }
   // Check if sum is equal to given formula. Calculating the sum of natural numbers using the formula
   int naturalSum = n * (n + 1) / 2;
   // Comparing square of naturalSum to sumOfCubes
   if (sumOfCubes == naturalSum * naturalSum) {
      // Printing Yes if they are equal
      cout << "Yes";
   }
   else {
      // Printing No if they are not equal
      cout << "No";
   }
}

int main(){
   // Given value of n
   int n = 6;
   // Function call to verify theorem
   verifyTheorem(n);
   return 0;
}  

输出

对于输入：i = 6，上面的C++程序将产生以下输出：

Yes

示例2

我们可以通过将verify函数分成多个函数来更清晰地编写上面的代码。

// Cpp program that verifies Nicomachus' Theorem
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to return the sum of cubes of numbers from 1 to n
int calcsumOfCubes(int n){
   // Initializing sum as 0
   int sumOfCubes = 0;
   // Iterating through natural numbers and adding their cubes to sum
   for (int k = 1; k <= n; k++) {
      sumOfCubes += k * k * k;
   }
   return sumOfCubes;
}
// Calculating the sum of natural numbers using the formula
int calnaturalSum(int n){
   return n * (n + 1) / 2;
}
// Function to calculate the sum of cubes and to find the sum of natural numbersand then comparing them
void verifyTheorem(int n){
   // Function call to calculate sum of cubes
   int sumOfCubes = calcsumOfCubes(n);
   // Function call to calculate sum of natural numbers
   int naturalSum = calnaturalSum(n);
   // Comparing square of naturalSum to sumOfCubes
   if (sumOfCubes == naturalSum * naturalSum){
      // Printing Yes if they are equal
      cout << "Yes";
   }
   else {
      // Printing No if they are not equal
      cout << "No";
   }
}

int main()
{
   // Given value of n
   int n = 6;
   // Function call to verify theorem
   verifyTheorem(n);
   return 0;
}

输出

对于输入i = 6，上面的C++程序将产生以下输出：

Yes

在这篇文章中，我们学习了尼科马库斯定理并对其进行了验证。