最大功率传输定理
最大功率传输定理 (MPT) 用于查找负载电阻的值,在此值下,从电源到负载的功率传输量最大。
MPT 的陈述
连接到直流电源的电阻负载,当负载电阻等于从负载端子看到的电源的内部电阻时,接收到的功率最大。
MPT 的解释
考虑以下电路图,以确定 RL 的值,以便它从直流电源接收最大功率。
负载电流为:
$$I=\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}}$$
因此,传递到电阻负载的功率为:
$$P_{L}=I^{2}R_{L}=(\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}})^{2}R_{L}$$
众所周知,负载电阻是可变的。因此,可以通过改变 RL 来最大化 PL。
$$\Rightarrow\:P_{L}=\frac{V_{Th}^{2}R_{L}}{(R_{th}+R_{L})^{2}}=\frac{V_{Th}^{2}R_{L}}{R_{Th}^{2}+R_{L}^{2}+2R_{Th}R_{L}}$$
$$\Rightarrow\:P_{L}=\frac{V_{Th}^{2}}{(\frac{R_{th}^{2}}{R_{L}}+R_{L}+2R_{Th})}=\frac{V_{Th}^{2}}{D}$$
为了使 PL 最大化,分母 (D) 项应最小,即:
$$\frac{dD}{dR_{L}}=0$$
$$\frac{d}{dR_{L}}(\frac{R_{Th}^{2}}{R_{L}}+R_{L}+2R_{Th})=0$$
通过求解上述微分方程,我们得到:
$$R_{L}=R_{Th}$$
因此,如果负载电阻等于源网络的内部电阻,则最大功率将传递到负载,即:
负载电阻 = 源的内部电阻
最大功率 (Pmax) 的量
$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}$$
这里,Pmax 是负载消耗的最大功率量。
电源提供的总功率为
$$P=2\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}=\frac{V_{Th}^{2}}{2R_{Th}}$$
在最大功率传输期间电路的效率变为:
$$\eta=\frac{P_{max}}{P}\times\:100=50$$%
使用 MPT 求解网络的步骤
步骤 1 – 去除负载电阻,并将所有独立电源替换为它们的内部电阻,并确定从开路负载端子观察源网络的 RTh。
步骤 2 – 根据 MPT,RTh 的值给出负载电阻 RL 的值,即 RTh = RL,这允许最大功率传输。
步骤 3 – 找到开路负载端子上的 VTh 值。
步骤 4 – 传输的最大功率量由下式给出:
$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}$$
数值示例
求下图所示电路中负载电阻 RL 的值,使功率最大传输。并计算最大功率值。
解决方案
步骤 1 – 去除负载电阻,并将所有独立电源替换为它们的内部电阻(在本例中,12 V 理想电压源短路),并确定给出与最大功率传输对应的 RL 的 RTh 值。
$$R_{Th}=1\:\Omega\:\lVert\:6\:\Omega=\frac{1\times\:6}{1+\:6}=\frac{6}{7}\:\Omega$$
根据最大功率传输定理:
$$R_{L}=R_{Th}=\frac{6}{7}\:\Omega$$
步骤 2 – 确定开路负载端子上的 VTh,
这里,电路中的电流为:
$$I=\frac{12}{1+6}=\frac{12}{7}\:安培$$
由于负载端子是开路的,因此 VTh 是 6 Ω 电阻上的电压降。因此,
$$V_{Th}=I\times\:6\Omega=\frac{12}{7}\times\:6=\frac{72}{7}\:伏特$$
传递到负载的最大功率量为:
$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}=\frac{(72/7)^{2}}{4\times\:(6/7)}=30.857瓦特$$
因此,最大功率传输的负载电阻值为 (6/7 Ω),传递到负载的最大功率为 30.857 瓦特。