最大功率传输定理


最大功率传输定理 (MPT) 用于查找负载电阻的值,在此值下,从电源到负载的功率传输量最大。

MPT 的陈述

连接到直流电源的电阻负载,当负载电阻等于从负载端子看到的电源的内部电阻时,接收到的功率最大。

MPT 的解释

考虑以下电路图,以确定 RL 的值,以便它从直流电源接收最大功率。

负载电流为:

$$I=\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}}$$

因此,传递到电阻负载的功率为:

$$P_{L}=I^{2}R_{L}=(\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}})^{2}R_{L}$$

众所周知,负载电阻是可变的。因此,可以通过改变 RL 来最大化 PL

$$\Rightarrow\:P_{L}=\frac{V_{Th}^{2}R_{L}}{(R_{th}+R_{L})^{2}}=\frac{V_{Th}^{2}R_{L}}{R_{Th}^{2}+R_{L}^{2}+2R_{Th}R_{L}}$$

$$\Rightarrow\:P_{L}=\frac{V_{Th}^{2}}{(\frac{R_{th}^{2}}{R_{L}}+R_{L}+2R_{Th})}=\frac{V_{Th}^{2}}{D}$$

为了使 PL 最大化,分母 (D) 项应最小,即:

$$\frac{dD}{dR_{L}}=0$$

$$\frac{d}{dR_{L}}(\frac{R_{Th}^{2}}{R_{L}}+R_{L}+2R_{Th})=0$$

通过求解上述微分方程,我们得到:

$$R_{L}=R_{Th}$$

因此,如果负载电阻等于源网络的内部电阻,则最大功率将传递到负载,即:

负载电阻 = 源的内部电阻

最大功率 (Pmax) 的量

$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}$$

这里,Pmax 是负载消耗的最大功率量。

电源提供的总功率

$$P=2\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}=\frac{V_{Th}^{2}}{2R_{Th}}$$

在最大功率传输期间电路的效率变为:

$$\eta=\frac{P_{max}}{P}\times\:100=50$$%

使用 MPT 求解网络的步骤

步骤 1 – 去除负载电阻,并将所有独立电源替换为它们的内部电阻,并确定从开路负载端子观察源网络的 RTh

步骤 2 – 根据 MPT,RTh 的值给出负载电阻 RL 的值,即 RTh = RL,这允许最大功率传输。

步骤 3 – 找到开路负载端子上的 VTh 值。

步骤 4 – 传输的最大功率量由下式给出:

$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}$$

数值示例

求下图所示电路中负载电阻 RL 的值,使功率最大传输。并计算最大功率值。

解决方案

步骤 1 – 去除负载电阻,并将所有独立电源替换为它们的内部电阻(在本例中,12 V 理想电压源短路),并确定给出与最大功率传输对应的 RL 的 RTh 值。

$$R_{Th}=1\:\Omega\:\lVert\:6\:\Omega=\frac{1\times\:6}{1+\:6}=\frac{6}{7}\:\Omega$$

根据最大功率传输定理:

$$R_{L}=R_{Th}=\frac{6}{7}\:\Omega$$

步骤 2 – 确定开路负载端子上的 VTh,

这里,电路中的电流为:

$$I=\frac{12}{1+6}=\frac{12}{7}\:安培$$

由于负载端子是开路的,因此 VTh 是 6 Ω 电阻上的电压降。因此,

$$V_{Th}=I\times\:6\Omega=\frac{12}{7}\times\:6=\frac{72}{7}\:伏特$$

传递到负载的最大功率量为:

$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}=\frac{(72/7)^{2}}{4\times\:(6/7)}=30.857瓦特$$

因此,最大功率传输的负载电阻值为 (6/7 Ω),传递到负载的最大功率为 30.857 瓦特。

更新于:2021年6月8日

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